Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 13919 / 15904
↖ ↑ ↗
← N 79.416240°
W141.770325°		 ← 56.10 m → N 79.416240°
W141.767578°		 →
↑
56.06 m
↓
↑
56.06 m
↓
N 79.415735°
W141.770325°		 ← 56.10 m →
3 145 m²		 N 79.415735°
W141.767578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.106197357177734 y=0.121341705322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.106197357177734 × 217)
    floor (0.106197357177734 × 131072)
    floor (13919.5)     		tx = 13919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121341705322266 × 217)
    floor (0.121341705322266 × 131072)
    floor (15904.5)     		ty = 15904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13919 / 15904 ti = "17/13919/15904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13919/15904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13919 ÷ 217
    13919 ÷ 131072     		x = 0.106193542480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15904 ÷ 217
    15904 ÷ 131072     		y = 0.121337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.106193542480469 × 2 - 1) × π
    -0.787612915039062 × 3.1415926535     		Λ = -2.47435895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121337890625 × 2 - 1) × π
    0.75732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.37920420194263
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.47435895} λ = -2.47435895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37920420194263))-π/2
    2×atan(10.7963077636577)-π/2
    2×1.47843559552884-π/2
    2.95687119105767-1.57079632675     		φ = 1.38607486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.47435895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.770325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38607486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.416240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13919 KachelY 15904 -2.47435895 1.38607486 -141.770325 79.416240
    Oben rechts KachelX + 1 13920 KachelY 15904 -2.47431101 1.38607486 -141.767578 79.416240
    Unten links KachelX 13919 KachelY + 1 15905 -2.47435895 1.38606606 -141.770325 79.415735
    Unten rechts KachelX + 1 13920 KachelY + 1 15905 -2.47431101 1.38606606 -141.767578 79.415735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38607486-1.38606606) × R
    8.79999999980896e-06 × 6371000     		dl = 56.0647999987829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38607486-1.38606606) × R
    8.79999999980896e-06 × 6371000     		dr = 56.0647999987829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.47435895--2.47431101) × cos(1.38607486) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183672746011926 × 6371000     		do = 56.0983843684879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.47435895--2.47431101) × cos(1.38606606) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183681396294354 × 6371000     		du = 56.1010263873996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38607486)-sin(1.38606606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183672746011926-0.183681396294354)×R²
    abs(-2.47431101--2.47435895)×8.6502824278023e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.6502824278023e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.6502824278023e-06×40589641000000     		ar = 3145.21876186779m²