Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13917 / 3230
↖ ↑ ↗
← N 80.820397°
W 27.103272°		 ← 194.89 m → N 80.820397°
W 27.092285°		 →
↑
194.89 m
↓
↑
194.89 m
↓
N 80.818644°
W 27.103272°		 ← 194.92 m →
37 985 m²		 N 80.818644°
W 27.092285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424728393554688 y=0.0985870361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424728393554688 × 215)
    floor (0.424728393554688 × 32768)
    floor (13917.5)     		tx = 13917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0985870361328125 × 215)
    floor (0.0985870361328125 × 32768)
    floor (3230.5)     		ty = 3230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13917 / 3230 ti = "15/13917/3230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13917/3230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13917 ÷ 215
    13917 ÷ 32768     		x = 0.424713134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3230 ÷ 215
    3230 ÷ 32768     		y = 0.09857177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424713134765625 × 2 - 1) × π
    -0.15057373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47304133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09857177734375 × 2 - 1) × π
    0.8028564453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.52224791040887
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47304133} λ = -0.47304133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52224791040887))-π/2
    2×atan(12.4565664604062)-π/2
    2×1.49068917722846-π/2
    2.98137835445693-1.57079632675     		φ = 1.41058203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47304133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.103272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41058203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.820397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13917 KachelY 3230 -0.47304133 1.41058203 -27.103272 80.820397
    Oben rechts KachelX + 1 13918 KachelY 3230 -0.47284958 1.41058203 -27.092285 80.820397
    Unten links KachelX 13917 KachelY + 1 3231 -0.47304133 1.41055144 -27.103272 80.818644
    Unten rechts KachelX + 1 13918 KachelY + 1 3231 -0.47284958 1.41055144 -27.092285 80.818644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41058203-1.41055144) × R
    3.05899999999415e-05 × 6371000     		dl = 194.888889999627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41058203-1.41055144) × R
    3.05899999999415e-05 × 6371000     		dr = 194.888889999627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47304133--0.47284958) × cos(1.41058203) × R
    0.000191749999999991 × 0.159529762597094 × 6371000     		do = 194.887819531783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47304133--0.47284958) × cos(1.41055144) × R
    0.000191749999999991 × 0.15955996075997 × 6371000     		du = 194.924710792829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41058203)-sin(1.41055144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159529762597094-0.15955996075997)×R²
    abs(-0.47284958--0.47304133)×3.01981628756109e-05×R²
    0.000191749999999991×3.01981628756109e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.01981628756109e-05×40589641000000     		ar = 37985.065674818m²