Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 13917 / 10837
↖ ↑ ↗
← N 76.073059°
W103.551636°		 ← 147.01 m → N 76.073059°
W103.546143°		 →
↑
147.04 m
↓
↑
147.04 m
↓
N 76.071737°
W103.551636°		 ← 147.02 m →
21 617 m²		 N 76.071737°
W103.546143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.212364196777344 y=0.165367126464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.212364196777344 × 216)
    floor (0.212364196777344 × 65536)
    floor (13917.5)     		tx = 13917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165367126464844 × 216)
    floor (0.165367126464844 × 65536)
    floor (10837.5)     		ty = 10837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13917 / 10837 ti = "16/13917/10837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13917/10837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13917 ÷ 216
    13917 ÷ 65536     		x = 0.212356567382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10837 ÷ 216
    10837 ÷ 65536     		y = 0.165359497070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.212356567382812 × 2 - 1) × π
    -0.575286865234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.80731699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165359497070312 × 2 - 1) × π
    0.669281005859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.1026082911349
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80731699} λ = -1.80731699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1026082911349))-π/2
    2×atan(8.18749746329619)-π/2
    2×1.44926083636348-π/2
    2.89852167272696-1.57079632675     		φ = 1.32772535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80731699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.551636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32772535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.073059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13917 KachelY 10837 -1.80731699 1.32772535 -103.551636 76.073059
    Oben rechts KachelX + 1 13918 KachelY 10837 -1.80722112 1.32772535 -103.546143 76.073059
    Unten links KachelX 13917 KachelY + 1 10838 -1.80731699 1.32770227 -103.551636 76.071737
    Unten rechts KachelX + 1 13918 KachelY + 1 10838 -1.80722112 1.32770227 -103.546143 76.071737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32772535-1.32770227) × R
    2.30799999998421e-05 × 6371000     		dl = 147.042679998994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32772535-1.32770227) × R
    2.30799999998421e-05 × 6371000     		dr = 147.042679998994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80731699--1.80722112) × cos(1.32772535) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.240684457245462 × 6371000     		do = 147.007122914613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80731699--1.80722112) × cos(1.32770227) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.240706858708207 × 6371000     		du = 147.020805454088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32772535)-sin(1.32770227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240684457245462-0.240706858708207)×R²
    abs(-1.80722112--1.80731699)×2.2401462745042e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.2401462745042e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.2401462745042e-05×40589641000000     		ar = 21617.3272921694m²