Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13916 / 3869
↖ ↑ ↗
← N 79.629991°
W 27.114258°		 ← 219.89 m → N 79.629991°
W 27.103272°		 →
↑
219.93 m
↓
↑
219.93 m
↓
N 79.628013°
W 27.114258°		 ← 219.93 m →
48 364 m²		 N 79.628013°
W 27.103272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424697875976562 y=0.118087768554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424697875976562 × 215)
    floor (0.424697875976562 × 32768)
    floor (13916.5)     		tx = 13916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118087768554688 × 215)
    floor (0.118087768554688 × 32768)
    floor (3869.5)     		ty = 3869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13916 / 3869 ti = "15/13916/3869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13916/3869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13916 ÷ 215
    13916 ÷ 32768     		x = 0.4246826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3869 ÷ 215
    3869 ÷ 32768     		y = 0.118072509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4246826171875 × 2 - 1) × π
    -0.150634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47323307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118072509765625 × 2 - 1) × π
    0.76385498046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.39972119498001
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47323307} λ = -0.47323307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39972119498001))-π/2
    2×atan(11.0201034921187)-π/2
    2×1.48030092416857-π/2
    2.96060184833715-1.57079632675     		φ = 1.38980552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47323307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.114258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38980552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.629991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13916 KachelY 3869 -0.47323307 1.38980552 -27.114258 79.629991
    Oben rechts KachelX + 1 13917 KachelY 3869 -0.47304133 1.38980552 -27.103272 79.629991
    Unten links KachelX 13916 KachelY + 1 3870 -0.47323307 1.38977100 -27.114258 79.628013
    Unten rechts KachelX + 1 13917 KachelY + 1 3870 -0.47304133 1.38977100 -27.103272 79.628013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38980552-1.38977100) × R
    3.45199999998158e-05 × 6371000     		dl = 219.926919998827m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38980552-1.38977100) × R
    3.45199999998158e-05 × 6371000     		dr = 219.926919998827m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47323307--0.47304133) × cos(1.38980552) × R
    0.000191739999999996 × 0.180004284405773 × 6371000     		do = 219.88883092529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47323307--0.47304133) × cos(1.38977100) × R
    0.000191739999999996 × 0.180038240442836 × 6371000     		du = 219.930310789603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38980552)-sin(1.38977100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180004284405773-0.180038240442836)×R²
    abs(-0.47304133--0.47323307)×3.39560370635483e-05×R²
    0.000191739999999996×3.39560370635483e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.39560370635483e-05×40589641000000     		ar = 48364.0346020883m²