Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 13916 / 10845
↖ ↑ ↗
← N 76.062478°
W103.557129°		 ← 147.12 m → N 76.062478°
W103.551636°		 →
↑
147.11 m
↓
↑
147.11 m
↓
N 76.061155°
W103.557129°		 ← 147.13 m →
21 643 m²		 N 76.061155°
W103.551636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.212348937988281 y=0.165489196777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.212348937988281 × 216)
    floor (0.212348937988281 × 65536)
    floor (13916.5)     		tx = 13916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165489196777344 × 216)
    floor (0.165489196777344 × 65536)
    floor (10845.5)     		ty = 10845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13916 / 10845 ti = "16/13916/10845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13916/10845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13916 ÷ 216
    13916 ÷ 65536     		x = 0.21234130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10845 ÷ 216
    10845 ÷ 65536     		y = 0.165481567382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21234130859375 × 2 - 1) × π
    -0.5753173828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.80741286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165481567382812 × 2 - 1) × π
    0.669036865234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.10184130074098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80741286} λ = -1.80741286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10184130074098))-π/2
    2×atan(8.18122013902303)-π/2
    2×1.44916850066406-π/2
    2.89833700132812-1.57079632675     		φ = 1.32754067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80741286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.557129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32754067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.062478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13916 KachelY 10845 -1.80741286 1.32754067 -103.557129 76.062478
    Oben rechts KachelX + 1 13917 KachelY 10845 -1.80731699 1.32754067 -103.551636 76.062478
    Unten links KachelX 13916 KachelY + 1 10846 -1.80741286 1.32751758 -103.557129 76.061155
    Unten rechts KachelX + 1 13917 KachelY + 1 10846 -1.80731699 1.32751758 -103.551636 76.061155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32754067-1.32751758) × R
    2.30900000000034e-05 × 6371000     		dl = 147.106390000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32754067-1.32751758) × R
    2.30900000000034e-05 × 6371000     		dr = 147.106390000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80741286--1.80731699) × cos(1.32754067) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.240863704178918 × 6371000     		do = 147.116604749378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80741286--1.80731699) × cos(1.32751758) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.24088611432087 × 6371000     		du = 147.130292590006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32754067)-sin(1.32751758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240863704178918-0.24088611432087)×R²
    abs(-1.80731699--1.80741286)×2.24101419524225e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.24101419524225e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.24101419524225e-05×40589641000000     		ar = 21642.7994189476m²