Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13915 / 3279
↖ ↑ ↗
← N 80.734118°
W 27.125244°		 ← 196.70 m → N 80.734118°
W 27.114258°		 →
↑
196.67 m
↓
↑
196.67 m
↓
N 80.732349°
W 27.125244°		 ← 196.74 m →
38 690 m²		 N 80.732349°
W 27.114258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424667358398438 y=0.100082397460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424667358398438 × 215)
    floor (0.424667358398438 × 32768)
    floor (13915.5)     		tx = 13915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100082397460938 × 215)
    floor (0.100082397460938 × 32768)
    floor (3279.5)     		ty = 3279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13915 / 3279 ti = "15/13915/3279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13915/3279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13915 ÷ 215
    13915 ÷ 32768     		x = 0.424652099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3279 ÷ 215
    3279 ÷ 32768     		y = 0.100067138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424652099609375 × 2 - 1) × π
    -0.15069580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47342482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100067138671875 × 2 - 1) × π
    0.79986572265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.51285227808334
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47342482} λ = -0.47342482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51285227808334))-π/2
    2×atan(12.3400772437811)-π/2
    2×1.48993624958473-π/2
    2.97987249916947-1.57079632675     		φ = 1.40907617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47342482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.125244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40907617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.734118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13915 KachelY 3279 -0.47342482 1.40907617 -27.125244 80.734118
    Oben rechts KachelX + 1 13916 KachelY 3279 -0.47323307 1.40907617 -27.114258 80.734118
    Unten links KachelX 13915 KachelY + 1 3280 -0.47342482 1.40904530 -27.125244 80.732349
    Unten rechts KachelX + 1 13916 KachelY + 1 3280 -0.47323307 1.40904530 -27.114258 80.732349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40907617-1.40904530) × R
    3.08700000000162e-05 × 6371000     		dl = 196.672770000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40907617-1.40904530) × R
    3.08700000000162e-05 × 6371000     		dr = 196.672770000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47342482--0.47323307) × cos(1.40907617) × R
    0.000191750000000046 × 0.161016155789979 × 6371000     		do = 196.703655797201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47342482--0.47323307) × cos(1.40904530) × R
    0.000191750000000046 × 0.161046622914414 × 6371000     		du = 196.740875632244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40907617)-sin(1.40904530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161016155789979-0.161046622914414)×R²
    abs(-0.47323307--0.47342482)×3.04671244341914e-05×R²
    0.000191750000000046×3.04671244341914e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.04671244341914e-05×40589641000000     		ar = 38689.9129224783m²