Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13915 / 10747
↖ ↑ ↗
← N 52.516221°
W 27.125244°		 ← 743.41 m → N 52.516221°
W 27.114258°		 →
↑
743.43 m
↓
↑
743.43 m
↓
N 52.509535°
W 27.125244°		 ← 743.53 m →
552 719 m²		 N 52.509535°
W 27.114258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424667358398438 y=0.327987670898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424667358398438 × 215)
    floor (0.424667358398438 × 32768)
    floor (13915.5)     		tx = 13915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327987670898438 × 215)
    floor (0.327987670898438 × 32768)
    floor (10747.5)     		ty = 10747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13915 / 10747 ti = "15/13915/10747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13915/10747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13915 ÷ 215
    13915 ÷ 32768     		x = 0.424652099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10747 ÷ 215
    10747 ÷ 32768     		y = 0.327972412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424652099609375 × 2 - 1) × π
    -0.15069580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47342482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327972412109375 × 2 - 1) × π
    0.34405517578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08088121263303
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47342482} λ = -0.47342482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08088121263303))-π/2
    2×atan(2.94727558354645)-π/2
    2×1.24368864577811-π/2
    2.48737729155623-1.57079632675     		φ = 0.91658096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47342482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.125244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91658096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.516221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13915 KachelY 10747 -0.47342482 0.91658096 -27.125244 52.516221
    Oben rechts KachelX + 1 13916 KachelY 10747 -0.47323307 0.91658096 -27.114258 52.516221
    Unten links KachelX 13915 KachelY + 1 10748 -0.47342482 0.91646427 -27.125244 52.509535
    Unten rechts KachelX + 1 13916 KachelY + 1 10748 -0.47323307 0.91646427 -27.114258 52.509535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91658096-0.91646427) × R
    0.00011669000000003 × 6371000     		dl = 743.431990000194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91658096-0.91646427) × R
    0.00011669000000003 × 6371000     		dr = 743.431990000194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47342482--0.47323307) × cos(0.91658096) × R
    0.000191750000000046 × 0.608536804141425 × 6371000     		do = 743.412445008906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47342482--0.47323307) × cos(0.91646427) × R
    0.000191750000000046 × 0.608629396506284 × 6371000     		du = 743.525559476068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91658096)-sin(0.91646427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608536804141425-0.608629396506284)×R²
    abs(-0.47323307--0.47342482)×9.25923648592564e-05×R²
    0.000191750000000046×9.25923648592564e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.25923648592564e-05×40589641000000     		ar = 552718.640467467m²