Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13914 / 3282
↖ ↑ ↗
← N 80.728809°
W 27.136231°		 ← 196.82 m → N 80.728809°
W 27.125244°		 →
↑
196.80 m
↓
↑
196.80 m
↓
N 80.727039°
W 27.136231°		 ← 196.85 m →
38 737 m²		 N 80.727039°
W 27.125244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424636840820312 y=0.100173950195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424636840820312 × 215)
    floor (0.424636840820312 × 32768)
    floor (13914.5)     		tx = 13914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100173950195312 × 215)
    floor (0.100173950195312 × 32768)
    floor (3282.5)     		ty = 3282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13914 / 3282 ti = "15/13914/3282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13914/3282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13914 ÷ 215
    13914 ÷ 32768     		x = 0.42462158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3282 ÷ 215
    3282 ÷ 32768     		y = 0.10015869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42462158203125 × 2 - 1) × π
    -0.1507568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47361657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10015869140625 × 2 - 1) × π
    0.7996826171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.5122770352879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47361657} λ = -0.47361657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5122770352879))-π/2
    2×atan(12.3329807445521)-π/2
    2×1.48988992474477-π/2
    2.97977984948955-1.57079632675     		φ = 1.40898352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47361657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.136231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40898352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.728809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13914 KachelY 3282 -0.47361657 1.40898352 -27.136231 80.728809
    Oben rechts KachelX + 1 13915 KachelY 3282 -0.47342482 1.40898352 -27.125244 80.728809
    Unten links KachelX 13914 KachelY + 1 3283 -0.47361657 1.40895263 -27.136231 80.727039
    Unten rechts KachelX + 1 13915 KachelY + 1 3283 -0.47342482 1.40895263 -27.125244 80.727039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40898352-1.40895263) × R
    3.08900000001167e-05 × 6371000     		dl = 196.800190000743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40898352-1.40895263) × R
    3.08900000001167e-05 × 6371000     		dr = 196.800190000743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47361657--0.47342482) × cos(1.40898352) × R
    0.000191749999999991 × 0.161107596180315 × 6371000     		do = 196.815362967014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47361657--0.47342482) × cos(1.40895263) × R
    0.000191749999999991 × 0.16113808258269 × 6371000     		du = 196.852606352745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40898352)-sin(1.40895263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161107596180315-0.16113808258269)×R²
    abs(-0.47342482--0.47361657)×3.04864023742135e-05×R²
    0.000191749999999991×3.04864023742135e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.04864023742135e-05×40589641000000     		ar = 38736.9655823767m²