Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 13914 / 10847
↖ ↑ ↗
← N 76.059832°
W103.568115°		 ← 147.14 m → N 76.059832°
W103.562622°		 →
↑
147.17 m
↓
↑
147.17 m
↓
N 76.058508°
W103.568115°		 ← 147.16 m →
21 656 m²		 N 76.058508°
W103.562622°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.212318420410156 y=0.165519714355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.212318420410156 × 216)
    floor (0.212318420410156 × 65536)
    floor (13914.5)     		tx = 13914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165519714355469 × 216)
    floor (0.165519714355469 × 65536)
    floor (10847.5)     		ty = 10847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13914 / 10847 ti = "16/13914/10847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13914/10847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13914 ÷ 216
    13914 ÷ 65536     		x = 0.212310791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10847 ÷ 216
    10847 ÷ 65536     		y = 0.165512084960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.212310791015625 × 2 - 1) × π
    -0.57537841796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.80760461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165512084960938 × 2 - 1) × π
    0.668975830078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.1016495531425
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80760461} λ = -1.80760461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1016495531425))-π/2
    2×atan(8.17965156009916)-π/2
    2×1.44914540599715-π/2
    2.89829081199431-1.57079632675     		φ = 1.32749449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80760461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.568115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32749449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.059832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13914 KachelY 10847 -1.80760461 1.32749449 -103.568115 76.059832
    Oben rechts KachelX + 1 13915 KachelY 10847 -1.80750874 1.32749449 -103.562622 76.059832
    Unten links KachelX 13914 KachelY + 1 10848 -1.80760461 1.32747139 -103.568115 76.058508
    Unten rechts KachelX + 1 13915 KachelY + 1 10848 -1.80750874 1.32747139 -103.562622 76.058508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32749449-1.32747139) × R
    2.31000000001647e-05 × 6371000     		dl = 147.170100001049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32749449-1.32747139) × R
    2.31000000001647e-05 × 6371000     		dr = 147.170100001049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80760461--1.80750874) × cos(1.32749449) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.240908524334395 × 6371000     		do = 147.143980352192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80760461--1.80750874) × cos(1.32747139) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.240930943924902 × 6371000     		du = 147.157673963883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32749449)-sin(1.32747139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240908524334395-0.240930943924902)×R²
    abs(-1.80750874--1.80760461)×2.24195905073332e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.24195905073332e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.24195905073332e-05×40589641000000     		ar = 21656.2019491474m²