Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13912 / 3854
↖ ↑ ↗
← N 79.659613°
W 27.158203°		 ← 219.27 m → N 79.659613°
W 27.147217°		 →
↑
219.29 m
↓
↑
219.29 m
↓
N 79.657640°
W 27.158203°		 ← 219.31 m →
48 088 m²		 N 79.657640°
W 27.147217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424575805664062 y=0.117630004882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424575805664062 × 215)
    floor (0.424575805664062 × 32768)
    floor (13912.5)     		tx = 13912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117630004882812 × 215)
    floor (0.117630004882812 × 32768)
    floor (3854.5)     		ty = 3854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13912 / 3854 ti = "15/13912/3854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13912/3854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13912 ÷ 215
    13912 ÷ 32768     		x = 0.424560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3854 ÷ 215
    3854 ÷ 32768     		y = 0.11761474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424560546875 × 2 - 1) × π
    -0.15087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47400006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11761474609375 × 2 - 1) × π
    0.7647705078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.40259740895721
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47400006} λ = -0.47400006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40259740895721))-π/2
    2×atan(11.0518452940379)-π/2
    2×1.48055942372402-π/2
    2.96111884744803-1.57079632675     		φ = 1.39032252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47400006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.158203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39032252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.659613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13912 KachelY 3854 -0.47400006 1.39032252 -27.158203 79.659613
    Oben rechts KachelX + 1 13913 KachelY 3854 -0.47380832 1.39032252 -27.147217 79.659613
    Unten links KachelX 13912 KachelY + 1 3855 -0.47400006 1.39028810 -27.158203 79.657640
    Unten rechts KachelX + 1 13913 KachelY + 1 3855 -0.47380832 1.39028810 -27.147217 79.657640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39032252-1.39028810) × R
    3.44199999999795e-05 × 6371000     		dl = 219.289819999869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39032252-1.39028810) × R
    3.44199999999795e-05 × 6371000     		dr = 219.289819999869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47400006--0.47380832) × cos(1.39032252) × R
    0.000191739999999996 × 0.17949570513971 × 6371000     		do = 219.267562933718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47400006--0.47380832) × cos(1.39028810) × R
    0.000191739999999996 × 0.17952956600979 × 6371000     		du = 219.30892654437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39032252)-sin(1.39028810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17949570513971-0.17952956600979)×R²
    abs(-0.47380832--0.47400006)×3.38608700792831e-05×R²
    0.000191739999999996×3.38608700792831e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.38608700792831e-05×40589641000000     		ar = 48087.6797213304m²