Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13911 / 3883
↖ ↑ ↗
← N 79.602268°
W 27.169189°		 ← 220.48 m → N 79.602268°
W 27.158203°		 →
↑
220.50 m
↓
↑
220.50 m
↓
N 79.600285°
W 27.169189°		 ← 220.52 m →
48 621 m²		 N 79.600285°
W 27.158203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424545288085938 y=0.118515014648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424545288085938 × 215)
    floor (0.424545288085938 × 32768)
    floor (13911.5)     		tx = 13911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118515014648438 × 215)
    floor (0.118515014648438 × 32768)
    floor (3883.5)     		ty = 3883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13911 / 3883 ti = "15/13911/3883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13911/3883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13911 ÷ 215
    13911 ÷ 32768     		x = 0.424530029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3883 ÷ 215
    3883 ÷ 32768     		y = 0.118499755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424530029296875 × 2 - 1) × π
    -0.15093994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47419181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118499755859375 × 2 - 1) × π
    0.76300048828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.39703672860129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47419181} λ = -0.47419181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39703672860129))-π/2
    2×atan(10.9905600667119)-π/2
    2×1.48005899717749-π/2
    2.96011799435498-1.57079632675     		φ = 1.38932167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47419181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.169189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38932167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.602268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13911 KachelY 3883 -0.47419181 1.38932167 -27.169189 79.602268
    Oben rechts KachelX + 1 13912 KachelY 3883 -0.47400006 1.38932167 -27.158203 79.602268
    Unten links KachelX 13911 KachelY + 1 3884 -0.47419181 1.38928706 -27.169189 79.600285
    Unten rechts KachelX + 1 13912 KachelY + 1 3884 -0.47400006 1.38928706 -27.158203 79.600285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38932167-1.38928706) × R
    3.4609999999935e-05 × 6371000     		dl = 220.500309999586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38932167-1.38928706) × R
    3.4609999999935e-05 × 6371000     		dr = 220.500309999586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47419181--0.47400006) × cos(1.38932167) × R
    0.000191749999999991 × 0.180480210026724 × 6371000     		do = 220.481708416879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47419181--0.47400006) × cos(1.38928706) × R
    0.000191749999999991 × 0.180514251574522 × 6371000     		du = 220.523294907799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38932167)-sin(1.38928706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180480210026724-0.180514251574522)×R²
    abs(-0.47400006--0.47419181)×3.40415477974865e-05×R²
    0.000191749999999991×3.40415477974865e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.40415477974865e-05×40589641000000     		ar = 48620.8699771741m²