Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13910 / 3234
↖ ↑ ↗
← N 80.813383°
W 27.180176°		 ← 195.04 m → N 80.813383°
W 27.169189°		 →
↑
195.02 m
↓
↑
195.02 m
↓
N 80.811630°
W 27.180176°		 ← 195.07 m →
38 039 m²		 N 80.811630°
W 27.169189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424514770507812 y=0.0987091064453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424514770507812 × 215)
    floor (0.424514770507812 × 32768)
    floor (13910.5)     		tx = 13910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0987091064453125 × 215)
    floor (0.0987091064453125 × 32768)
    floor (3234.5)     		ty = 3234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13910 / 3234 ti = "15/13910/3234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13910/3234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13910 ÷ 215
    13910 ÷ 32768     		x = 0.42449951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3234 ÷ 215
    3234 ÷ 32768     		y = 0.09869384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42449951171875 × 2 - 1) × π
    -0.1510009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47438356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09869384765625 × 2 - 1) × π
    0.8026123046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.52148092001495
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47438356} λ = -0.47438356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52148092001495))-π/2
    2×atan(12.447016056592)-π/2
    2×1.49062797516282-π/2
    2.98125595032563-1.57079632675     		φ = 1.41045962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47438356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.180176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41045962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.813383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13910 KachelY 3234 -0.47438356 1.41045962 -27.180176 80.813383
    Oben rechts KachelX + 1 13911 KachelY 3234 -0.47419181 1.41045962 -27.169189 80.813383
    Unten links KachelX 13910 KachelY + 1 3235 -0.47438356 1.41042901 -27.180176 80.811630
    Unten rechts KachelX + 1 13911 KachelY + 1 3235 -0.47419181 1.41042901 -27.169189 80.811630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41045962-1.41042901) × R
    3.06099999998199e-05 × 6371000     		dl = 195.016309998853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41045962-1.41042901) × R
    3.06099999998199e-05 × 6371000     		dr = 195.016309998853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47438356--0.47419181) × cos(1.41045962) × R
    0.000191749999999991 × 0.159650603711316 × 6371000     		do = 195.035443779929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47438356--0.47419181) × cos(1.41042901) × R
    0.000191749999999991 × 0.15968082101992 × 6371000     		du = 195.072358430149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41045962)-sin(1.41042901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159650603711316-0.15968082101992)×R²
    abs(-0.47419181--0.47438356)×3.02173086039748e-05×R²
    0.000191749999999991×3.02173086039748e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.02173086039748e-05×40589641000000     		ar = 38038.6920472632m²