Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13909 / 4342
↖ ↑ ↗
← N 78.651644°
W 27.191162°		 ← 240.39 m → N 78.651644°
W 27.180176°		 →
↑
240.38 m
↓
↑
240.38 m
↓
N 78.649482°
W 27.191162°		 ← 240.43 m →
57 789 m²		 N 78.649482°
W 27.180176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424484252929688 y=0.132522583007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424484252929688 × 215)
    floor (0.424484252929688 × 32768)
    floor (13909.5)     		tx = 13909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132522583007812 × 215)
    floor (0.132522583007812 × 32768)
    floor (4342.5)     		ty = 4342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13909 / 4342 ti = "15/13909/4342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13909/4342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13909 ÷ 215
    13909 ÷ 32768     		x = 0.424468994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4342 ÷ 215
    4342 ÷ 32768     		y = 0.13250732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424468994140625 × 2 - 1) × π
    -0.15106201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47457531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13250732421875 × 2 - 1) × π
    0.7349853515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.30902458089886
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47457531} λ = -0.47457531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30902458089886))-π/2
    2×atan(10.0646026598318)-π/2
    2×1.47176323924705-π/2
    2.9435264784941-1.57079632675     		φ = 1.37273015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47457531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.191162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37273015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.651644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13909 KachelY 4342 -0.47457531 1.37273015 -27.191162 78.651644
    Oben rechts KachelX + 1 13910 KachelY 4342 -0.47438356 1.37273015 -27.180176 78.651644
    Unten links KachelX 13909 KachelY + 1 4343 -0.47457531 1.37269242 -27.191162 78.649482
    Unten rechts KachelX + 1 13910 KachelY + 1 4343 -0.47438356 1.37269242 -27.180176 78.649482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37273015-1.37269242) × R
    3.77300000000691e-05 × 6371000     		dl = 240.37783000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37273015-1.37269242) × R
    3.77300000000691e-05 × 6371000     		dr = 240.37783000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47457531--0.47438356) × cos(1.37273015) × R
    0.000191749999999991 × 0.1967736850066 × 6371000     		do = 240.386456971188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47457531--0.47438356) × cos(1.37269242) × R
    0.000191749999999991 × 0.196810677204903 × 6371000     		du = 240.431648092578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37273015)-sin(1.37269242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1967736850066-0.196810677204903)×R²
    abs(-0.47438356--0.47457531)×3.69921983028043e-05×R²
    0.000191749999999991×3.69921983028043e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.69921983028043e-05×40589641000000     		ar = 57789.0063666187m²