Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13908 / 3709
↖ ↑ ↗
← N 79.941676°
W 27.202148°		 ← 213.35 m → N 79.941676°
W 27.191162°		 →
↑
213.36 m
↓
↑
213.36 m
↓
N 79.939757°
W 27.202148°		 ← 213.39 m →
45 525 m²		 N 79.939757°
W 27.191162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424453735351562 y=0.113204956054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424453735351562 × 215)
    floor (0.424453735351562 × 32768)
    floor (13908.5)     		tx = 13908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113204956054688 × 215)
    floor (0.113204956054688 × 32768)
    floor (3709.5)     		ty = 3709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13908 / 3709 ti = "15/13908/3709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13908/3709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13908 ÷ 215
    13908 ÷ 32768     		x = 0.4244384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3709 ÷ 215
    3709 ÷ 32768     		y = 0.113189697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4244384765625 × 2 - 1) × π
    -0.151123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47476705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113189697265625 × 2 - 1) × π
    0.77362060546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.43040081073685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47476705} λ = -0.47476705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43040081073685))-π/2
    2×atan(11.3634357544175)-π/2
    2×1.48302089286087-π/2
    2.96604178572175-1.57079632675     		φ = 1.39524546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47476705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.202148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39524546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.941676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13908 KachelY 3709 -0.47476705 1.39524546 -27.202148 79.941676
    Oben rechts KachelX + 1 13909 KachelY 3709 -0.47457531 1.39524546 -27.191162 79.941676
    Unten links KachelX 13908 KachelY + 1 3710 -0.47476705 1.39521197 -27.202148 79.939757
    Unten rechts KachelX + 1 13909 KachelY + 1 3710 -0.47457531 1.39521197 -27.191162 79.939757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39524546-1.39521197) × R
    3.34899999998584e-05 × 6371000     		dl = 213.364789999098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39524546-1.39521197) × R
    3.34899999998584e-05 × 6371000     		dr = 213.364789999098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47476705--0.47457531) × cos(1.39524546) × R
    0.000191740000000051 × 0.174650564301573 × 6371000     		do = 213.348857398056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47476705--0.47457531) × cos(1.39521197) × R
    0.000191740000000051 × 0.17468353947837 × 6371000     		du = 213.389139067458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39524546)-sin(1.39521197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174650564301573-0.17468353947837)×R²
    abs(-0.47457531--0.47476705)×3.29751767967346e-05×R²
    0.000191740000000051×3.29751767967346e-05×6371000²
    0.000191740000000051×3.29751767967346e-05×40589641000000     		ar = 45525.4315042637m²