Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 13908 / 10986
↖ ↑ ↗
← N 75.874691°
W103.601074°		 ← 149.06 m → N 75.874691°
W103.595581°		 →
↑
149.08 m
↓
↑
149.08 m
↓
N 75.873350°
W103.601074°		 ← 149.07 m →
22 223 m²		 N 75.873350°
W103.595581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.212226867675781 y=0.167640686035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.212226867675781 × 216)
    floor (0.212226867675781 × 65536)
    floor (13908.5)     		tx = 13908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167640686035156 × 216)
    floor (0.167640686035156 × 65536)
    floor (10986.5)     		ty = 10986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13908 / 10986 ti = "16/13908/10986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13908/10986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13908 ÷ 216
    13908 ÷ 65536     		x = 0.21221923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10986 ÷ 216
    10986 ÷ 65536     		y = 0.167633056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21221923828125 × 2 - 1) × π
    -0.5755615234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.80817985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167633056640625 × 2 - 1) × π
    0.66473388671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.08832309504813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80817985} λ = -1.80817985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08832309504813))-π/2
    2×atan(8.07136889111121)-π/2
    2×1.44752975420481-π/2
    2.89505950840961-1.57079632675     		φ = 1.32426318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80817985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.601074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32426318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.874691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13908 KachelY 10986 -1.80817985 1.32426318 -103.601074 75.874691
    Oben rechts KachelX + 1 13909 KachelY 10986 -1.80808398 1.32426318 -103.595581 75.874691
    Unten links KachelX 13908 KachelY + 1 10987 -1.80817985 1.32423978 -103.601074 75.873350
    Unten rechts KachelX + 1 13909 KachelY + 1 10987 -1.80808398 1.32423978 -103.595581 75.873350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32426318-1.32423978) × R
    2.33999999998957e-05 × 6371000     		dl = 149.081399999336m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32426318-1.32423978) × R
    2.33999999998957e-05 × 6371000     		dr = 149.081399999336m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80817985--1.80808398) × cos(1.32426318) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.244043402067273 × 6371000     		do = 149.05872533188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80817985--1.80808398) × cos(1.32423978) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.244066094485322 × 6371000     		du = 149.072585583296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32426318)-sin(1.32423978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.244043402067273-0.244066094485322)×R²
    abs(-1.80808398--1.80817985)×2.26924180491972e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.26924180491972e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.26924180491972e-05×40589641000000     		ar = 22222.9166084454m²