Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13908 / 10684
↖ ↑ ↗
← N 52.935397°
W 27.202148°		 ← 736.26 m → N 52.935397°
W 27.191162°		 →
↑
736.36 m
↓
↑
736.36 m
↓
N 52.928774°
W 27.202148°		 ← 736.37 m →
542 196 m²		 N 52.928774°
W 27.191162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424453735351562 y=0.326065063476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424453735351562 × 215)
    floor (0.424453735351562 × 32768)
    floor (13908.5)     		tx = 13908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326065063476562 × 215)
    floor (0.326065063476562 × 32768)
    floor (10684.5)     		ty = 10684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13908 / 10684 ti = "15/13908/10684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13908/10684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13908 ÷ 215
    13908 ÷ 32768     		x = 0.4244384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10684 ÷ 215
    10684 ÷ 32768     		y = 0.3260498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4244384765625 × 2 - 1) × π
    -0.151123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47476705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3260498046875 × 2 - 1) × π
    0.347900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09296131133728
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47476705} λ = -0.47476705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09296131133728))-π/2
    2×atan(2.98309487822416)-π/2
    2×1.24734664465912-π/2
    2.49469328931825-1.57079632675     		φ = 0.92389696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47476705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.202148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92389696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.935397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13908 KachelY 10684 -0.47476705 0.92389696 -27.202148 52.935397
    Oben rechts KachelX + 1 13909 KachelY 10684 -0.47457531 0.92389696 -27.191162 52.935397
    Unten links KachelX 13908 KachelY + 1 10685 -0.47476705 0.92378138 -27.202148 52.928774
    Unten rechts KachelX + 1 13909 KachelY + 1 10685 -0.47457531 0.92378138 -27.191162 52.928774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92389696-0.92378138) × R
    0.000115580000000004 × 6371000     		dl = 736.360180000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92389696-0.92378138) × R
    0.000115580000000004 × 6371000     		dr = 736.360180000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47476705--0.47457531) × cos(0.92389696) × R
    0.000191740000000051 × 0.602715136724911 × 6371000     		do = 736.262068611104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47476705--0.47457531) × cos(0.92378138) × R
    0.000191740000000051 × 0.602807360503113 × 6371000     		du = 736.374726922762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92389696)-sin(0.92378138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602715136724911-0.602807360503113)×R²
    abs(-0.47457531--0.47476705)×9.22237782020607e-05×R²
    0.000191740000000051×9.22237782020607e-05×6371000²
    0.000191740000000051×9.22237782020607e-05×40589641000000     		ar = 542195.548520917m²