Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13907 / 4484
↖ ↑ ↗
← N 78.340533°
W 27.213135°		 ← 246.89 m → N 78.340533°
W 27.202148°		 →
↑
246.94 m
↓
↑
246.94 m
↓
N 78.338312°
W 27.213135°		 ← 246.93 m →
60 972 m²		 N 78.338312°
W 27.202148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424423217773438 y=0.136856079101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424423217773438 × 215)
    floor (0.424423217773438 × 32768)
    floor (13907.5)     		tx = 13907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136856079101562 × 215)
    floor (0.136856079101562 × 32768)
    floor (4484.5)     		ty = 4484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13907 / 4484 ti = "15/13907/4484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13907/4484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13907 ÷ 215
    13907 ÷ 32768     		x = 0.424407958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4484 ÷ 215
    4484 ÷ 32768     		y = 0.1368408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424407958984375 × 2 - 1) × π
    -0.15118408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47495880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1368408203125 × 2 - 1) × π
    0.726318359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.28179642191467
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47495880} λ = -0.47495880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28179642191467))-π/2
    2×atan(9.79425923723757)-π/2
    2×1.46904828198848-π/2
    2.93809656397697-1.57079632675     		φ = 1.36730024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47495880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.213135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36730024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.340533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13907 KachelY 4484 -0.47495880 1.36730024 -27.213135 78.340533
    Oben rechts KachelX + 1 13908 KachelY 4484 -0.47476705 1.36730024 -27.202148 78.340533
    Unten links KachelX 13907 KachelY + 1 4485 -0.47495880 1.36726148 -27.213135 78.338312
    Unten rechts KachelX + 1 13908 KachelY + 1 4485 -0.47476705 1.36726148 -27.202148 78.338312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36730024-1.36726148) × R
    3.87600000000266e-05 × 6371000     		dl = 246.939960000169m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36730024-1.36726148) × R
    3.87600000000266e-05 × 6371000     		dr = 246.939960000169m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47495880--0.47476705) × cos(1.36730024) × R
    0.000191749999999991 × 0.20209450750713 × 6371000     		do = 246.886582580118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47495880--0.47476705) × cos(1.36726148) × R
    0.000191749999999991 × 0.202132467582425 × 6371000     		du = 246.932956098031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36730024)-sin(1.36726148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20209450750713-0.202132467582425)×R²
    abs(-0.47476705--0.47495880)×3.79600752948572e-05×R²
    0.000191749999999991×3.79600752948572e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.79600752948572e-05×40589641000000     		ar = 60971.8885719617m²