Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13907 / 3877
↖ ↑ ↗
← N 79.614158°
W 27.213135°		 ← 220.23 m → N 79.614158°
W 27.202148°		 →
↑
220.25 m
↓
↑
220.25 m
↓
N 79.612177°
W 27.213135°		 ← 220.27 m →
48 510 m²		 N 79.612177°
W 27.202148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424423217773438 y=0.118331909179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424423217773438 × 215)
    floor (0.424423217773438 × 32768)
    floor (13907.5)     		tx = 13907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118331909179688 × 215)
    floor (0.118331909179688 × 32768)
    floor (3877.5)     		ty = 3877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13907 / 3877 ti = "15/13907/3877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13907/3877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13907 ÷ 215
    13907 ÷ 32768     		x = 0.424407958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3877 ÷ 215
    3877 ÷ 32768     		y = 0.118316650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424407958984375 × 2 - 1) × π
    -0.15118408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47495880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118316650390625 × 2 - 1) × π
    0.76336669921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.39818721419217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47495880} λ = -0.47495880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39818721419217))-π/2
    2×atan(11.0032118241412)-π/2
    2×1.48016275839985-π/2
    2.9603255167997-1.57079632675     		φ = 1.38952919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47495880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.213135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38952919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.614158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13907 KachelY 3877 -0.47495880 1.38952919 -27.213135 79.614158
    Oben rechts KachelX + 1 13908 KachelY 3877 -0.47476705 1.38952919 -27.202148 79.614158
    Unten links KachelX 13907 KachelY + 1 3878 -0.47495880 1.38949462 -27.213135 79.612177
    Unten rechts KachelX + 1 13908 KachelY + 1 3878 -0.47476705 1.38949462 -27.202148 79.612177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38952919-1.38949462) × R
    3.4569999999956e-05 × 6371000     		dl = 220.24546999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38952919-1.38949462) × R
    3.4569999999956e-05 × 6371000     		dr = 220.24546999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47495880--0.47476705) × cos(1.38952919) × R
    0.000191749999999991 × 0.180276093907654 × 6371000     		do = 220.232352154265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47495880--0.47476705) × cos(1.38949462) × R
    0.000191749999999991 × 0.180310097406705 × 6371000     		du = 220.273892163344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38952919)-sin(1.38949462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180276093907654-0.180310097406705)×R²
    abs(-0.47476705--0.47495880)×3.40034990513882e-05×R²
    0.000191749999999991×3.40034990513882e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.40034990513882e-05×40589641000000     		ar = 48509.7524135859m²