Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13907 / 3708
↖ ↑ ↗
← N 79.943595°
W 27.213135°		 ← 213.32 m → N 79.943595°
W 27.202148°		 →
↑
213.30 m
↓
↑
213.30 m
↓
N 79.941676°
W 27.213135°		 ← 213.36 m →
45 506 m²		 N 79.941676°
W 27.202148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424423217773438 y=0.113174438476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424423217773438 × 215)
    floor (0.424423217773438 × 32768)
    floor (13907.5)     		tx = 13907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113174438476562 × 215)
    floor (0.113174438476562 × 32768)
    floor (3708.5)     		ty = 3708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13907 / 3708 ti = "15/13907/3708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13907/3708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13907 ÷ 215
    13907 ÷ 32768     		x = 0.424407958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3708 ÷ 215
    3708 ÷ 32768     		y = 0.1131591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424407958984375 × 2 - 1) × π
    -0.15118408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47495880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1131591796875 × 2 - 1) × π
    0.773681640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.43059255833533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47495880} λ = -0.47495880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43059255833533))-π/2
    2×atan(11.3656148748478)-π/2
    2×1.48303763569353-π/2
    2.96607527138707-1.57079632675     		φ = 1.39527894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47495880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.213135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39527894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.943595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13907 KachelY 3708 -0.47495880 1.39527894 -27.213135 79.943595
    Oben rechts KachelX + 1 13908 KachelY 3708 -0.47476705 1.39527894 -27.202148 79.943595
    Unten links KachelX 13907 KachelY + 1 3709 -0.47495880 1.39524546 -27.213135 79.941676
    Unten rechts KachelX + 1 13908 KachelY + 1 3709 -0.47476705 1.39524546 -27.202148 79.941676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39527894-1.39524546) × R
    3.34800000001412e-05 × 6371000     		dl = 213.301080000899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39527894-1.39524546) × R
    3.34800000001412e-05 × 6371000     		dr = 213.301080000899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47495880--0.47476705) × cos(1.39527894) × R
    0.000191749999999991 × 0.174617598775255 × 6371000     		do = 213.319712404592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47495880--0.47476705) × cos(1.39524546) × R
    0.000191749999999991 × 0.174650564301573 × 6371000     		du = 213.35998438544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39527894)-sin(1.39524546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174617598775255-0.174650564301573)×R²
    abs(-0.47476705--0.47495880)×3.29655263183459e-05×R²
    0.000191749999999991×3.29655263183459e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.29655263183459e-05×40589641000000     		ar = 45505.6200740381m²