Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 13904 / 9712
↖ ↑ ↗
← N 77.485088°
W103.623047°		 ← 132.35 m → N 77.485088°
W103.617554°		 →
↑
132.39 m
↓
↑
132.39 m
↓
N 77.483898°
W103.623047°		 ← 132.37 m →
17 523 m²		 N 77.483898°
W103.617554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.212165832519531 y=0.148200988769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.212165832519531 × 216)
    floor (0.212165832519531 × 65536)
    floor (13904.5)     		tx = 13904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148200988769531 × 216)
    floor (0.148200988769531 × 65536)
    floor (9712.5)     		ty = 9712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13904 / 9712 ti = "16/13904/9712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13904/9712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13904 ÷ 216
    13904 ÷ 65536     		x = 0.212158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9712 ÷ 216
    9712 ÷ 65536     		y = 0.148193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.212158203125 × 2 - 1) × π
    -0.57568359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.80856335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148193359375 × 2 - 1) × π
    0.70361328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21046631528003
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80856335} λ = -1.80856335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21046631528003))-π/2
    2×atan(9.11996818214286)-π/2
    2×1.46158311756451-π/2
    2.92316623512901-1.57079632675     		φ = 1.35236991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80856335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.623047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35236991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.485088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13904 KachelY 9712 -1.80856335 1.35236991 -103.623047 77.485088
    Oben rechts KachelX + 1 13905 KachelY 9712 -1.80846748 1.35236991 -103.617554 77.485088
    Unten links KachelX 13904 KachelY + 1 9713 -1.80856335 1.35234913 -103.623047 77.483898
    Unten rechts KachelX + 1 13905 KachelY + 1 9713 -1.80846748 1.35234913 -103.617554 77.483898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35236991-1.35234913) × R
    2.07800000000535e-05 × 6371000     		dl = 132.389380000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35236991-1.35234913) × R
    2.07800000000535e-05 × 6371000     		dr = 132.389380000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80856335--1.80846748) × cos(1.35236991) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.216693697692332 × 6371000     		do = 132.35386038655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80856335--1.80846748) × cos(1.35234913) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.216713983905335 × 6371000     		du = 132.366250957353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35236991)-sin(1.35234913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216693697692332-0.216713983905335)×R²
    abs(-1.80846748--1.80856335)×2.0286213003734e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.0286213003734e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.0286213003734e-05×40589641000000     		ar = 17523.0657080122m²