Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13904 / 3236
↖ ↑ ↗
← N 80.809875°
W 27.246094°		 ← 195.10 m → N 80.809875°
W 27.235108°		 →
↑
195.14 m
↓
↑
195.14 m
↓
N 80.808120°
W 27.246094°		 ← 195.14 m →
38 076 m²		 N 80.808120°
W 27.235108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424331665039062 y=0.0987701416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424331665039062 × 215)
    floor (0.424331665039062 × 32768)
    floor (13904.5)     		tx = 13904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0987701416015625 × 215)
    floor (0.0987701416015625 × 32768)
    floor (3236.5)     		ty = 3236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13904 / 3236 ti = "15/13904/3236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13904/3236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13904 ÷ 215
    13904 ÷ 32768     		x = 0.42431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3236 ÷ 215
    3236 ÷ 32768     		y = 0.0987548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42431640625 × 2 - 1) × π
    -0.1513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47553404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0987548828125 × 2 - 1) × π
    0.802490234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.52109742481799
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47553404} λ = -0.47553404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52109742481799))-π/2
    2×atan(12.4422436008832)-π/2
    2×1.49059735674831-π/2
    2.98119471349662-1.57079632675     		φ = 1.41039839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47553404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.246094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41039839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.809875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13904 KachelY 3236 -0.47553404 1.41039839 -27.246094 80.809875
    Oben rechts KachelX + 1 13905 KachelY 3236 -0.47534230 1.41039839 -27.235108 80.809875
    Unten links KachelX 13904 KachelY + 1 3237 -0.47553404 1.41036776 -27.246094 80.808120
    Unten rechts KachelX + 1 13905 KachelY + 1 3237 -0.47534230 1.41036776 -27.235108 80.808120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41039839-1.41036776) × R
    3.06299999999204e-05 × 6371000     		dl = 195.143729999493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41039839-1.41036776) × R
    3.06299999999204e-05 × 6371000     		dr = 195.143729999493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47553404--0.47534230) × cos(1.41039839) × R
    0.000191739999999996 × 0.159711048050546 × 6371000     		do = 195.099109766307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47553404--0.47534230) × cos(1.41036776) × R
    0.000191739999999996 × 0.159741284803018 × 6371000     		du = 195.136046243536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41039839)-sin(1.41036776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159711048050546-0.159741284803018)×R²
    abs(-0.47534230--0.47553404)×3.02367524722125e-05×R²
    0.000191739999999996×3.02367524722125e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.02367524722125e-05×40589641000000     		ar = 38075.971963388m²