Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13903 / 3858
↖ ↑ ↗
← N 79.651722°
W 27.257080°		 ← 219.44 m → N 79.651722°
W 27.246094°		 →
↑
219.48 m
↓
↑
219.48 m
↓
N 79.649748°
W 27.257080°		 ← 219.49 m →
48 168 m²		 N 79.649748°
W 27.246094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424301147460938 y=0.117752075195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424301147460938 × 215)
    floor (0.424301147460938 × 32768)
    floor (13903.5)     		tx = 13903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117752075195312 × 215)
    floor (0.117752075195312 × 32768)
    floor (3858.5)     		ty = 3858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13903 / 3858 ti = "15/13903/3858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13903/3858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13903 ÷ 215
    13903 ÷ 32768     		x = 0.424285888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3858 ÷ 215
    3858 ÷ 32768     		y = 0.11773681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424285888671875 × 2 - 1) × π
    -0.15142822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47572579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11773681640625 × 2 - 1) × π
    0.7645263671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.40183041856329
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47572579} λ = -0.47572579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40183041856329))-π/2
    2×atan(11.0433718847894)-π/2
    2×1.48049056200771-π/2
    2.96098112401543-1.57079632675     		φ = 1.39018480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47572579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.257080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39018480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.651722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13903 KachelY 3858 -0.47572579 1.39018480 -27.257080 79.651722
    Oben rechts KachelX + 1 13904 KachelY 3858 -0.47553404 1.39018480 -27.246094 79.651722
    Unten links KachelX 13903 KachelY + 1 3859 -0.47572579 1.39015035 -27.257080 79.649748
    Unten rechts KachelX + 1 13904 KachelY + 1 3859 -0.47553404 1.39015035 -27.246094 79.649748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39018480-1.39015035) × R
    3.44500000000192e-05 × 6371000     		dl = 219.480950000122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39018480-1.39015035) × R
    3.44500000000192e-05 × 6371000     		dr = 219.480950000122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47572579--0.47553404) × cos(1.39018480) × R
    0.000191749999999991 × 0.179631186693057 × 6371000     		do = 219.444508188305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47572579--0.47553404) × cos(1.39015035) × R
    0.000191749999999991 × 0.179665076223703 × 6371000     		du = 219.485908969106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39018480)-sin(1.39015035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179631186693057-0.179665076223703)×R²
    abs(-0.47553404--0.47572579)×3.38895306456755e-05×R²
    0.000191749999999991×3.38895306456755e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.38895306456755e-05×40589641000000     		ar = 48168.4324760904m²