Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 13903 / 10973
↖ ↑ ↗
← N 75.892108°
W103.628540°		 ← 148.88 m → N 75.892108°
W103.623047°		 →
↑
148.89 m
↓
↑
148.89 m
↓
N 75.890769°
W103.628540°		 ← 148.89 m →
22 168 m²		 N 75.890769°
W103.623047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.212150573730469 y=0.167442321777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.212150573730469 × 216)
    floor (0.212150573730469 × 65536)
    floor (13903.5)     		tx = 13903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167442321777344 × 216)
    floor (0.167442321777344 × 65536)
    floor (10973.5)     		ty = 10973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13903 / 10973 ti = "16/13903/10973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13903/10973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13903 ÷ 216
    13903 ÷ 65536     		x = 0.212142944335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10973 ÷ 216
    10973 ÷ 65536     		y = 0.167434692382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.212142944335938 × 2 - 1) × π
    -0.575714111328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.80865922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167434692382812 × 2 - 1) × π
    0.665130615234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.08956945443825
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80865922} λ = -1.80865922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08956945443825))-π/2
    2×atan(8.08143498920466)-π/2
    2×1.44768174522201-π/2
    2.89536349044401-1.57079632675     		φ = 1.32456716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80865922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.628540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32456716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.892108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13903 KachelY 10973 -1.80865922 1.32456716 -103.628540 75.892108
    Oben rechts KachelX + 1 13904 KachelY 10973 -1.80856335 1.32456716 -103.623047 75.892108
    Unten links KachelX 13903 KachelY + 1 10974 -1.80865922 1.32454379 -103.628540 75.890769
    Unten rechts KachelX + 1 13904 KachelY + 1 10974 -1.80856335 1.32454379 -103.623047 75.890769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32456716-1.32454379) × R
    2.3369999999856e-05 × 6371000     		dl = 148.890269999083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32456716-1.32454379) × R
    2.3369999999856e-05 × 6371000     		dr = 148.890269999083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80865922--1.80856335) × cos(1.32456716) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.243748601841436 × 6371000     		do = 148.878664959345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80865922--1.80856335) × cos(1.32454379) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.243771266899447 × 6371000     		du = 148.892508499585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32456716)-sin(1.32454379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243748601841436-0.243771266899447)×R²
    abs(-1.80856335--1.80865922)×2.26650580118504e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.26650580118504e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.26650580118504e-05×40589641000000     		ar = 22167.6152084519m²