Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13902 / 4321
↖ ↑ ↗
← N 78.696953°
W 27.268066°		 ← 239.44 m → N 78.696953°
W 27.257080°		 →
↑
239.49 m
↓
↑
239.49 m
↓
N 78.694799°
W 27.268066°		 ← 239.48 m →
57 348 m²		 N 78.694799°
W 27.257080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424270629882812 y=0.131881713867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424270629882812 × 215)
    floor (0.424270629882812 × 32768)
    floor (13902.5)     		tx = 13902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131881713867188 × 215)
    floor (0.131881713867188 × 32768)
    floor (4321.5)     		ty = 4321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13902 / 4321 ti = "15/13902/4321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13902/4321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13902 ÷ 215
    13902 ÷ 32768     		x = 0.42425537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4321 ÷ 215
    4321 ÷ 32768     		y = 0.131866455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42425537109375 × 2 - 1) × π
    -0.1514892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47591754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131866455078125 × 2 - 1) × π
    0.73626708984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.31305128046695
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47591754} λ = -0.47591754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31305128046695))-π/2
    2×atan(10.1052114959361)-π/2
    2×1.47215863244412-π/2
    2.94431726488823-1.57079632675     		φ = 1.37352094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47591754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.268066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37352094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.696953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13902 KachelY 4321 -0.47591754 1.37352094 -27.268066 78.696953
    Oben rechts KachelX + 1 13903 KachelY 4321 -0.47572579 1.37352094 -27.257080 78.696953
    Unten links KachelX 13902 KachelY + 1 4322 -0.47591754 1.37348335 -27.268066 78.694799
    Unten rechts KachelX + 1 13903 KachelY + 1 4322 -0.47572579 1.37348335 -27.257080 78.694799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37352094-1.37348335) × R
    3.75899999998097e-05 × 6371000     		dl = 239.485889998788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37352094-1.37348335) × R
    3.75899999998097e-05 × 6371000     		dr = 239.485889998788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47591754--0.47572579) × cos(1.37352094) × R
    0.000191749999999991 × 0.1959982943469 × 6371000     		do = 239.439209307214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47591754--0.47572579) × cos(1.37348335) × R
    0.000191749999999991 × 0.196035155121667 × 6371000     		du = 239.484239876455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37352094)-sin(1.37348335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1959982943469-0.196035155121667)×R²
    abs(-0.47572579--0.47591754)×3.6860774767028e-05×R²
    0.000191749999999991×3.6860774767028e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.6860774767028e-05×40589641000000     		ar = 57347.7042407703m²