Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 13902 / 10975
↖ ↑ ↗
← N 75.889430°
W103.634033°		 ← 148.92 m → N 75.889430°
W103.628540°		 →
↑
148.89 m
↓
↑
148.89 m
↓
N 75.888091°
W103.634033°		 ← 148.94 m →
22 174 m²		 N 75.888091°
W103.628540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.212135314941406 y=0.167472839355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.212135314941406 × 216)
    floor (0.212135314941406 × 65536)
    floor (13902.5)     		tx = 13902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167472839355469 × 216)
    floor (0.167472839355469 × 65536)
    floor (10975.5)     		ty = 10975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13902 / 10975 ti = "16/13902/10975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13902/10975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13902 ÷ 216
    13902 ÷ 65536     		x = 0.212127685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10975 ÷ 216
    10975 ÷ 65536     		y = 0.167465209960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.212127685546875 × 2 - 1) × π
    -0.57574462890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.80875510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167465209960938 × 2 - 1) × π
    0.665069580078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.08937770683977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80875510} λ = -1.80875510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08937770683977))-π/2
    2×atan(8.07988554200934)-π/2
    2×1.44765837394479-π/2
    2.89531674788959-1.57079632675     		φ = 1.32452042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80875510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.634033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32452042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.889430°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13902 KachelY 10975 -1.80875510 1.32452042 -103.634033 75.889430
    Oben rechts KachelX + 1 13903 KachelY 10975 -1.80865922 1.32452042 -103.628540 75.889430
    Unten links KachelX 13902 KachelY + 1 10976 -1.80875510 1.32449705 -103.634033 75.888091
    Unten rechts KachelX + 1 13903 KachelY + 1 10976 -1.80865922 1.32449705 -103.628540 75.888091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32452042-1.32449705) × R
    2.33700000000781e-05 × 6371000     		dl = 148.890270000497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32452042-1.32449705) × R
    2.33700000000781e-05 × 6371000     		dr = 148.890270000497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80875510--1.80865922) × cos(1.32452042) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.243793931824322 × 6371000     		do = 148.921884069809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80875510--1.80865922) × cos(1.32449705) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.243816596616047 × 6371000     		du = 148.935728891378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32452042)-sin(1.32449705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243793931824322-0.243816596616047)×R²
    abs(-1.80865922--1.80875510)×2.26647917249412e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.26647917249412e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.26647917249412e-05×40589641000000     		ar = 22174.0502089149m²