Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13901 / 4468
↖ ↑ ↗
← N 78.376004°
W 27.279053°		 ← 246.15 m → N 78.376004°
W 27.268066°		 →
↑
246.11 m
↓
↑
246.11 m
↓
N 78.373790°
W 27.279053°		 ← 246.19 m →
60 585 m²		 N 78.373790°
W 27.268066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424240112304688 y=0.136367797851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424240112304688 × 215)
    floor (0.424240112304688 × 32768)
    floor (13901.5)     		tx = 13901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136367797851562 × 215)
    floor (0.136367797851562 × 32768)
    floor (4468.5)     		ty = 4468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13901 / 4468 ti = "15/13901/4468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13901/4468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13901 ÷ 215
    13901 ÷ 32768     		x = 0.424224853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4468 ÷ 215
    4468 ÷ 32768     		y = 0.1363525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424224853515625 × 2 - 1) × π
    -0.15155029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47610929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1363525390625 × 2 - 1) × π
    0.727294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.28486438349036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47610929} λ = -0.47610929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28486438349036))-π/2
    2×atan(9.82435378909894)-π/2
    2×1.46935782579533-π/2
    2.93871565159066-1.57079632675     		φ = 1.36791932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47610929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.279053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36791932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.376004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13901 KachelY 4468 -0.47610929 1.36791932 -27.279053 78.376004
    Oben rechts KachelX + 1 13902 KachelY 4468 -0.47591754 1.36791932 -27.268066 78.376004
    Unten links KachelX 13901 KachelY + 1 4469 -0.47610929 1.36788069 -27.279053 78.373790
    Unten rechts KachelX + 1 13902 KachelY + 1 4469 -0.47591754 1.36788069 -27.268066 78.373790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36791932-1.36788069) × R
    3.86299999999284e-05 × 6371000     		dl = 246.111729999544m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36791932-1.36788069) × R
    3.86299999999284e-05 × 6371000     		dr = 246.111729999544m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47610929--0.47591754) × cos(1.36791932) × R
    0.000191750000000046 × 0.201488162900009 × 6371000     		do = 246.145848209104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47610929--0.47591754) × cos(1.36788069) × R
    0.000191750000000046 × 0.201526000485042 × 6371000     		du = 246.192072088106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36791932)-sin(1.36788069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201488162900009-0.201526000485042)×R²
    abs(-0.47591754--0.47610929)×3.7837585032785e-05×R²
    0.000191750000000046×3.7837585032785e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.7837585032785e-05×40589641000000     		ar = 60585.0686618579m²