Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1390 / 2989
↖ ↑ ↗
← S 63.430860°
W 57.832031°		 ← 4 371.24 m → S 63.430860°
W 57.744141°		 →
↑
4 368.21 m
↓
↑
4 368.21 m
↓
S 63.470145°
W 57.832031°		 ← 4 365.24 m →
19 081 397 m²		 S 63.470145°
W 57.744141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3394775390625 y=0.7298583984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3394775390625 × 212)
    floor (0.3394775390625 × 4096)
    floor (1390.5)     		tx = 1390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7298583984375 × 212)
    floor (0.7298583984375 × 4096)
    floor (2989.5)     		ty = 2989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1390 / 2989 ti = "12/1390/2989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1390/2989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1390 ÷ 212
    1390 ÷ 4096     		x = 0.33935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2989 ÷ 212
    2989 ÷ 4096     		y = 0.729736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33935546875 × 2 - 1) × π
    -0.3212890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.00935936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729736328125 × 2 - 1) × π
    -0.45947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44347592135913
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00935936} λ = -1.00935936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44347592135913))-π/2
    2×atan(0.236105646052305)-π/2
    2×0.231859484364923-π/2
    0.463718968729847-1.57079632675     		φ = -1.10707736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00935936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.832031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10707736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.430860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1390 KachelY 2989 -1.00935936 -1.10707736 -57.832031 -63.430860
    Oben rechts KachelX + 1 1391 KachelY 2989 -1.00782538 -1.10707736 -57.744141 -63.430860
    Unten links KachelX 1390 KachelY + 1 2990 -1.00935936 -1.10776300 -57.832031 -63.470145
    Unten rechts KachelX + 1 1391 KachelY + 1 2990 -1.00782538 -1.10776300 -57.744141 -63.470145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10707736--1.10776300) × R
    0.000685640000000154 × 6371000     		dl = 4368.21244000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10707736--1.10776300) × R
    0.000685640000000154 × 6371000     		dr = 4368.21244000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00935936--1.00782538) × cos(-1.10707736) × R
    0.00153397999999982 × 0.447277418712637 × 6371000     		do = 4371.23621061514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00935936--1.00782538) × cos(-1.10776300) × R
    0.00153397999999982 × 0.446664080450225 × 6371000     		du = 4365.24206400759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10707736)-sin(-1.10776300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447277418712637-0.446664080450225)×R²
    abs(-1.00782538--1.00935936)×0.000613338262412111×R²
    0.00153397999999982×0.000613338262412111×6371000²
    0.00153397999999982×0.000613338262412111×40589641000000     		ar = 19081397.2880235m²