Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13898 / 11100
↖ ↑ ↗
← N 50.092393°
W 27.312012°		 ← 783.74 m → N 50.092393°
W 27.301025°		 →
↑
783.76 m
↓
↑
783.76 m
↓
N 50.085345°
W 27.312012°		 ← 783.86 m →
614 313 m²		 N 50.085345°
W 27.301025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424148559570312 y=0.338760375976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424148559570312 × 215)
    floor (0.424148559570312 × 32768)
    floor (13898.5)     		tx = 13898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338760375976562 × 215)
    floor (0.338760375976562 × 32768)
    floor (11100.5)     		ty = 11100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13898 / 11100 ti = "15/13898/11100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13898/11100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13898 ÷ 215
    13898 ÷ 32768     		x = 0.42413330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11100 ÷ 215
    11100 ÷ 32768     		y = 0.3387451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42413330078125 × 2 - 1) × π
    -0.1517333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47668453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3387451171875 × 2 - 1) × π
    0.322509765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01319431036951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47668453} λ = -0.47668453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01319431036951))-π/2
    2×atan(2.75438533926941)-π/2
    2×1.22253675925543-π/2
    2.44507351851085-1.57079632675     		φ = 0.87427719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47668453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.312012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87427719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.092393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13898 KachelY 11100 -0.47668453 0.87427719 -27.312012 50.092393
    Oben rechts KachelX + 1 13899 KachelY 11100 -0.47649278 0.87427719 -27.301025 50.092393
    Unten links KachelX 13898 KachelY + 1 11101 -0.47668453 0.87415417 -27.312012 50.085345
    Unten rechts KachelX + 1 13899 KachelY + 1 11101 -0.47649278 0.87415417 -27.301025 50.085345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87427719-0.87415417) × R
    0.000123020000000085 × 6371000     		dl = 783.76042000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87427719-0.87415417) × R
    0.000123020000000085 × 6371000     		dr = 783.76042000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47668453--0.47649278) × cos(0.87427719) × R
    0.000191749999999991 × 0.641551478788094 × 6371000     		do = 783.744467383039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47668453--0.47649278) × cos(0.87415417) × R
    0.000191749999999991 × 0.64164584011275 × 6371000     		du = 783.859742880921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87427719)-sin(0.87415417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641551478788094-0.64164584011275)×R²
    abs(-0.47649278--0.47668453)×9.43613246559005e-05×R²
    0.000191749999999991×9.43613246559005e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.43613246559005e-05×40589641000000     		ar = 614313.067889838m²