Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 13898 / 10971
↖ ↑ ↗
← N 75.894786°
W103.656006°		 ← 148.85 m → N 75.894786°
W103.650513°		 →
↑
148.89 m
↓
↑
148.89 m
↓
N 75.893447°
W103.656006°		 ← 148.86 m →
22 163 m²		 N 75.893447°
W103.650513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.212074279785156 y=0.167411804199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.212074279785156 × 216)
    floor (0.212074279785156 × 65536)
    floor (13898.5)     		tx = 13898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167411804199219 × 216)
    floor (0.167411804199219 × 65536)
    floor (10971.5)     		ty = 10971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13898 / 10971 ti = "16/13898/10971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13898/10971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13898 ÷ 216
    13898 ÷ 65536     		x = 0.212066650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10971 ÷ 216
    10971 ÷ 65536     		y = 0.167404174804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.212066650390625 × 2 - 1) × π
    -0.57586669921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.80913859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167404174804688 × 2 - 1) × π
    0.665191650390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.08976120203673
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80913859} λ = -1.80913859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08976120203673))-π/2
    2×atan(8.08298473353124)-π/2
    2×1.4477051121534-π/2
    2.89541022430681-1.57079632675     		φ = 1.32461390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80913859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.656006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32461390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.894786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13898 KachelY 10971 -1.80913859 1.32461390 -103.656006 75.894786
    Oben rechts KachelX + 1 13899 KachelY 10971 -1.80904272 1.32461390 -103.650513 75.894786
    Unten links KachelX 13898 KachelY + 1 10972 -1.80913859 1.32459053 -103.656006 75.893447
    Unten rechts KachelX + 1 13899 KachelY + 1 10972 -1.80904272 1.32459053 -103.650513 75.893447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32461390-1.32459053) × R
    2.3369999999856e-05 × 6371000     		dl = 148.890269999083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32461390-1.32459053) × R
    2.3369999999856e-05 × 6371000     		dr = 148.890269999083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80913859--1.80904272) × cos(1.32461390) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.243703271326049 × 6371000     		do = 148.850977634939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80913859--1.80904272) × cos(1.32459053) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.243725936650299 × 6371000     		du = 148.864821337794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32461390)-sin(1.32459053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243703271326049-0.243725936650299)×R²
    abs(-1.80904272--1.80913859)×2.26653242494101e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.26653242494101e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.26653242494101e-05×40589641000000     		ar = 22163.4928473447m²