Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13896 / 5736
↖ ↑ ↗
← N 47.398349°
E125.332031°		 ← 1 653.85 m → N 47.398349°
E125.354004°		 →
↑
1 654.04 m
↓
↑
1 654.04 m
↓
N 47.383474°
E125.332031°		 ← 1 654.32 m →
2 735 916 m²		 N 47.383474°
E125.354004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.848175048828125 y=0.350128173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.848175048828125 × 214)
    floor (0.848175048828125 × 16384)
    floor (13896.5)     		tx = 13896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350128173828125 × 214)
    floor (0.350128173828125 × 16384)
    floor (5736.5)     		ty = 5736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13896 / 5736 ti = "14/13896/5736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13896/5736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13896 ÷ 214
    13896 ÷ 16384     		x = 0.84814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5736 ÷ 214
    5736 ÷ 16384     		y = 0.35009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.84814453125 × 2 - 1) × π
    0.6962890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.18745660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35009765625 × 2 - 1) × π
    0.2998046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.941864203734863
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.18745660} λ = 2.18745660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.941864203734863))-π/2
    2×atan(2.5647581963108)-π/2
    2×1.19902679016648-π/2
    2.39805358033296-1.57079632675     		φ = 0.82725725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.18745660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 125.332031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82725725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.398349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13896 KachelY 5736 2.18745660 0.82725725 125.332031 47.398349
    Oben rechts KachelX + 1 13897 KachelY 5736 2.18784010 0.82725725 125.354004 47.398349
    Unten links KachelX 13896 KachelY + 1 5737 2.18745660 0.82699763 125.332031 47.383474
    Unten rechts KachelX + 1 13897 KachelY + 1 5737 2.18784010 0.82699763 125.354004 47.383474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82725725-0.82699763) × R
    0.000259620000000016 × 6371000     		dl = 1654.0390200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82725725-0.82699763) × R
    0.000259620000000016 × 6371000     		dr = 1654.0390200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.18745660-2.18784010) × cos(0.82725725) × R
    0.00038349999999987 × 0.676897180367001 × 6371000     		do = 1653.84832750076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.18745660-2.18784010) × cos(0.82699763) × R
    0.00038349999999987 × 0.677088258014483 × 6371000     		du = 1654.31518340868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82725725)-sin(0.82699763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676897180367001-0.677088258014483)×R²
    abs(2.18784010-2.18745660)×0.000191077647482163×R²
    0.00038349999999987×0.000191077647482163×6371000²
    0.00038349999999987×0.000191077647482163×40589641000000     		ar = 2735915.78115994m²