Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13894 / 11068
↖ ↑ ↗
← N 50.317408°
W 27.355957°		 ← 780.06 m → N 50.317408°
W 27.344971°		 →
↑
780.07 m
↓
↑
780.07 m
↓
N 50.310393°
W 27.355957°		 ← 780.17 m →
608 541 m²		 N 50.310393°
W 27.344971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424026489257812 y=0.337783813476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424026489257812 × 215)
    floor (0.424026489257812 × 32768)
    floor (13894.5)     		tx = 13894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337783813476562 × 215)
    floor (0.337783813476562 × 32768)
    floor (11068.5)     		ty = 11068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13894 / 11068 ti = "15/13894/11068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13894/11068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13894 ÷ 215
    13894 ÷ 32768     		x = 0.42401123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11068 ÷ 215
    11068 ÷ 32768     		y = 0.3377685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42401123046875 × 2 - 1) × π
    -0.1519775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47745152
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3377685546875 × 2 - 1) × π
    0.324462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01933023352087
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47745152} λ = -0.47745152}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01933023352087))-π/2
    2×atan(2.77133799294221)-π/2
    2×1.2245003847056-π/2
    2.4490007694112-1.57079632675     		φ = 0.87820444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47745152} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.355957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87820444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.317408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13894 KachelY 11068 -0.47745152 0.87820444 -27.355957 50.317408
    Oben rechts KachelX + 1 13895 KachelY 11068 -0.47725977 0.87820444 -27.344971 50.317408
    Unten links KachelX 13894 KachelY + 1 11069 -0.47745152 0.87808200 -27.355957 50.310393
    Unten rechts KachelX + 1 13895 KachelY + 1 11069 -0.47725977 0.87808200 -27.344971 50.310393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87820444-0.87808200) × R
    0.000122439999999946 × 6371000     		dl = 780.065239999656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87820444-0.87808200) × R
    0.000122439999999946 × 6371000     		dr = 780.065239999656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47745152--0.47725977) × cos(0.87820444) × R
    0.000191749999999991 × 0.638534024257602 × 6371000     		do = 780.0582264935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47745152--0.47725977) × cos(0.87808200) × R
    0.000191749999999991 × 0.638628248510703 × 6371000     		du = 780.17333453939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87820444)-sin(0.87808200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638534024257602-0.638628248510703)×R²
    abs(-0.47725977--0.47745152)×9.42242531005721e-05×R²
    0.000191749999999991×9.42242531005721e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.42242531005721e-05×40589641000000     		ar = 608541.20431597m²