Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 13893 / 10867
↖ ↑ ↗
← N 76.033340°
W103.683472°		 ← 147.42 m → N 76.033340°
W103.677979°		 →
↑
147.42 m
↓
↑
147.42 m
↓
N 76.032014°
W103.683472°		 ← 147.43 m →
21 734 m²		 N 76.032014°
W103.677979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.211997985839844 y=0.165824890136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.211997985839844 × 216)
    floor (0.211997985839844 × 65536)
    floor (13893.5)     		tx = 13893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165824890136719 × 216)
    floor (0.165824890136719 × 65536)
    floor (10867.5)     		ty = 10867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13893 / 10867 ti = "16/13893/10867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13893/10867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13893 ÷ 216
    13893 ÷ 65536     		x = 0.211990356445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10867 ÷ 216
    10867 ÷ 65536     		y = 0.165817260742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.211990356445312 × 2 - 1) × π
    -0.576019287109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.80961796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165817260742188 × 2 - 1) × π
    0.668365478515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.0997320771577
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80961796} λ = -1.80961796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0997320771577))-π/2
    2×atan(8.16398230218245)-π/2
    2×1.44891422279645-π/2
    2.89782844559289-1.57079632675     		φ = 1.32703212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80961796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.683472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32703212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.033340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13893 KachelY 10867 -1.80961796 1.32703212 -103.683472 76.033340
    Oben rechts KachelX + 1 13894 KachelY 10867 -1.80952209 1.32703212 -103.677979 76.033340
    Unten links KachelX 13893 KachelY + 1 10868 -1.80961796 1.32700898 -103.683472 76.032014
    Unten rechts KachelX + 1 13894 KachelY + 1 10868 -1.80952209 1.32700898 -103.677979 76.032014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32703212-1.32700898) × R
    2.31399999999216e-05 × 6371000     		dl = 147.4249399995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32703212-1.32700898) × R
    2.31399999999216e-05 × 6371000     		dr = 147.4249399995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80961796--1.80952209) × cos(1.32703212) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.24135725076536 × 6371000     		do = 147.418056968302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80961796--1.80952209) × cos(1.32700898) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.241379706597498 × 6371000     		du = 147.431772715937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32703212)-sin(1.32700898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24135725076536-0.241379706597498)×R²
    abs(-1.80952209--1.80961796)×2.24558321380852e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.24558321380852e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.24558321380852e-05×40589641000000     		ar = 21734.1092258734m²