Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13892 / 11069
↖ ↑ ↗
← N 50.310393°
W 27.377930°		 ← 780.17 m → N 50.310393°
W 27.366943°		 →
↑
780.26 m
↓
↑
780.26 m
↓
N 50.303376°
W 27.377930°		 ← 780.29 m →
608 780 m²		 N 50.303376°
W 27.366943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423965454101562 y=0.337814331054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423965454101562 × 215)
    floor (0.423965454101562 × 32768)
    floor (13892.5)     		tx = 13892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337814331054688 × 215)
    floor (0.337814331054688 × 32768)
    floor (11069.5)     		ty = 11069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13892 / 11069 ti = "15/13892/11069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13892/11069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13892 ÷ 215
    13892 ÷ 32768     		x = 0.4239501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11069 ÷ 215
    11069 ÷ 32768     		y = 0.337799072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4239501953125 × 2 - 1) × π
    -0.152099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47783502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337799072265625 × 2 - 1) × π
    0.32440185546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01913848592239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47783502} λ = -0.47783502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01913848592239))-π/2
    2×atan(2.77080664648132)-π/2
    2×1.22443916150592-π/2
    2.44887832301184-1.57079632675     		φ = 0.87808200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47783502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.377930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87808200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.310393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13892 KachelY 11069 -0.47783502 0.87808200 -27.377930 50.310393
    Oben rechts KachelX + 1 13893 KachelY 11069 -0.47764327 0.87808200 -27.366943 50.310393
    Unten links KachelX 13892 KachelY + 1 11070 -0.47783502 0.87795953 -27.377930 50.303376
    Unten rechts KachelX + 1 13893 KachelY + 1 11070 -0.47764327 0.87795953 -27.366943 50.303376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87808200-0.87795953) × R
    0.000122469999999986 × 6371000     		dl = 780.256369999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87808200-0.87795953) × R
    0.000122469999999986 × 6371000     		dr = 780.256369999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47783502--0.47764327) × cos(0.87808200) × R
    0.000191749999999991 × 0.638628248510703 × 6371000     		do = 780.17333453939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47783502--0.47764327) × cos(0.87795953) × R
    0.000191749999999991 × 0.63872248627289 × 6371000     		du = 780.28845908851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87808200)-sin(0.87795953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638628248510703-0.63872248627289)×R²
    abs(-0.47764327--0.47783502)×9.42377621868662e-05×R²
    0.000191749999999991×9.42377621868662e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.42377621868662e-05×40589641000000     		ar = 608780.128070883m²