Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 13892 / 10868
↖ ↑ ↗
← N 76.032014°
W103.688965°		 ← 147.43 m → N 76.032014°
W103.683472°		 →
↑
147.49 m
↓
↑
147.49 m
↓
N 76.030688°
W103.688965°		 ← 147.45 m →
21 746 m²		 N 76.030688°
W103.683472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.211982727050781 y=0.165840148925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.211982727050781 × 216)
    floor (0.211982727050781 × 65536)
    floor (13892.5)     		tx = 13892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165840148925781 × 216)
    floor (0.165840148925781 × 65536)
    floor (10868.5)     		ty = 10868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13892 / 10868 ti = "16/13892/10868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13892/10868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13892 ÷ 216
    13892 ÷ 65536     		x = 0.21197509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10868 ÷ 216
    10868 ÷ 65536     		y = 0.16583251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21197509765625 × 2 - 1) × π
    -0.5760498046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.80971383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16583251953125 × 2 - 1) × π
    0.6683349609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.09963620335846
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80971383} λ = -1.80971383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09963620335846))-π/2
    2×atan(8.1631996277018)-π/2
    2×1.44890265233984-π/2
    2.89780530467969-1.57079632675     		φ = 1.32700898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80971383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.688965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32700898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.032014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13892 KachelY 10868 -1.80971383 1.32700898 -103.688965 76.032014
    Oben rechts KachelX + 1 13893 KachelY 10868 -1.80961796 1.32700898 -103.683472 76.032014
    Unten links KachelX 13892 KachelY + 1 10869 -1.80971383 1.32698583 -103.688965 76.030688
    Unten rechts KachelX + 1 13893 KachelY + 1 10869 -1.80961796 1.32698583 -103.683472 76.030688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32700898-1.32698583) × R
    2.31500000000828e-05 × 6371000     		dl = 147.488650000528m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32700898-1.32698583) × R
    2.31500000000828e-05 × 6371000     		dr = 147.488650000528m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80971383--1.80961796) × cos(1.32700898) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.241379706597498 × 6371000     		do = 147.431772715937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80971383--1.80961796) × cos(1.32698583) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.241402172004639 × 6371000     		du = 147.445494311866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32700898)-sin(1.32698583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.241379706597498-0.241402172004639)×R²
    abs(-1.80961796--1.80971383)×2.24654071407648e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.24654071407648e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.24654071407648e-05×40589641000000     		ar = 21745.5250158972m²