Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13892 / 10723
↖ ↑ ↗
← N 52.676382°
W 27.377930°		 ← 740.70 m → N 52.676382°
W 27.366943°		 →
↑
740.76 m
↓
↑
740.76 m
↓
N 52.669721°
W 27.377930°		 ← 740.81 m →
548 720 m²		 N 52.669721°
W 27.366943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423965454101562 y=0.327255249023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423965454101562 × 215)
    floor (0.423965454101562 × 32768)
    floor (13892.5)     		tx = 13892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327255249023438 × 215)
    floor (0.327255249023438 × 32768)
    floor (10723.5)     		ty = 10723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13892 / 10723 ti = "15/13892/10723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13892/10723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13892 ÷ 215
    13892 ÷ 32768     		x = 0.4239501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10723 ÷ 215
    10723 ÷ 32768     		y = 0.327239990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4239501953125 × 2 - 1) × π
    -0.152099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47783502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327239990234375 × 2 - 1) × π
    0.34552001953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08548315499655
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47783502} λ = -0.47783502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08548315499655))-π/2
    2×atan(2.96087003235451)-π/2
    2×1.24508631606264-π/2
    2.49017263212527-1.57079632675     		φ = 0.91937631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47783502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.377930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91937631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.676382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13892 KachelY 10723 -0.47783502 0.91937631 -27.377930 52.676382
    Oben rechts KachelX + 1 13893 KachelY 10723 -0.47764327 0.91937631 -27.366943 52.676382
    Unten links KachelX 13892 KachelY + 1 10724 -0.47783502 0.91926004 -27.377930 52.669721
    Unten rechts KachelX + 1 13893 KachelY + 1 10724 -0.47764327 0.91926004 -27.366943 52.669721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91937631-0.91926004) × R
    0.000116270000000029 × 6371000     		dl = 740.756170000187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91937631-0.91926004) × R
    0.000116270000000029 × 6371000     		dr = 740.756170000187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47783502--0.47764327) × cos(0.91937631) × R
    0.000191749999999991 × 0.606316247556943 × 6371000     		do = 740.699725928242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47783502--0.47764327) × cos(0.91926004) × R
    0.000191749999999991 × 0.606408704108881 × 6371000     		du = 740.812674481009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91937631)-sin(0.91926004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606316247556943-0.606408704108881)×R²
    abs(-0.47764327--0.47783502)×9.24565519381249e-05×R²
    0.000191749999999991×9.24565519381249e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.24565519381249e-05×40589641000000     		ar = 548719.726384962m²