Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 13891 / 10966
↖ ↑ ↗
← N 75.901478°
W103.694458°		 ← 148.80 m → N 75.901478°
W103.688965°		 →
↑
148.76 m
↓
↑
148.76 m
↓
N 75.900140°
W103.694458°		 ← 148.81 m →
22 137 m²		 N 75.900140°
W103.688965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.211967468261719 y=0.167335510253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.211967468261719 × 216)
    floor (0.211967468261719 × 65536)
    floor (13891.5)     		tx = 13891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167335510253906 × 216)
    floor (0.167335510253906 × 65536)
    floor (10966.5)     		ty = 10966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13891 / 10966 ti = "16/13891/10966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13891/10966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13891 ÷ 216
    13891 ÷ 65536     		x = 0.211959838867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10966 ÷ 216
    10966 ÷ 65536     		y = 0.167327880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.211959838867188 × 2 - 1) × π
    -0.576080322265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.80980971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167327880859375 × 2 - 1) × π
    0.66534423828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.09024057103293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80980971} λ = -1.80980971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09024057103293))-π/2
    2×atan(8.08686039467093)-π/2
    2×1.44776351047391-π/2
    2.89552702094783-1.57079632675     		φ = 1.32473069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80980971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.694458°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32473069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.901478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13891 KachelY 10966 -1.80980971 1.32473069 -103.694458 75.901478
    Oben rechts KachelX + 1 13892 KachelY 10966 -1.80971383 1.32473069 -103.688965 75.901478
    Unten links KachelX 13891 KachelY + 1 10967 -1.80980971 1.32470734 -103.694458 75.900140
    Unten rechts KachelX + 1 13892 KachelY + 1 10967 -1.80971383 1.32470734 -103.688965 75.900140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32473069-1.32470734) × R
    2.33499999999776e-05 × 6371000     		dl = 148.762849999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32473069-1.32470734) × R
    2.33499999999776e-05 × 6371000     		dr = 148.762849999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80980971--1.80971383) × cos(1.32473069) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.243590000901244 × 6371000     		do = 148.797312563629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80980971--1.80971383) × cos(1.32470734) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.243612647493077 × 6371000     		du = 148.811146267767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32473069)-sin(1.32470734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243590000901244-0.243612647493077)×R²
    abs(-1.80971383--1.80980971)×2.26465918331253e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.26465918331253e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.26465918331253e-05×40589641000000     		ar = 22136.5412605568m²