Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13890 / 10725
↖ ↑ ↗
← N 52.663058°
W 27.399902°		 ← 740.93 m → N 52.663058°
W 27.388916°		 →
↑
740.95 m
↓
↑
740.95 m
↓
N 52.656394°
W 27.399902°		 ← 741.04 m →
549 029 m²		 N 52.656394°
W 27.388916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423904418945312 y=0.327316284179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423904418945312 × 215)
    floor (0.423904418945312 × 32768)
    floor (13890.5)     		tx = 13890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327316284179688 × 215)
    floor (0.327316284179688 × 32768)
    floor (10725.5)     		ty = 10725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13890 / 10725 ti = "15/13890/10725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13890/10725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13890 ÷ 215
    13890 ÷ 32768     		x = 0.42388916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10725 ÷ 215
    10725 ÷ 32768     		y = 0.327301025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42388916015625 × 2 - 1) × π
    -0.1522216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47821851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327301025390625 × 2 - 1) × π
    0.34539794921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.08509965979959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47821851} λ = -0.47821851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08509965979959))-π/2
    2×atan(2.95973477061591)-π/2
    2×1.24497003864925-π/2
    2.48994007729849-1.57079632675     		φ = 0.91914375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47821851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.399902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91914375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.663058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13890 KachelY 10725 -0.47821851 0.91914375 -27.399902 52.663058
    Oben rechts KachelX + 1 13891 KachelY 10725 -0.47802676 0.91914375 -27.388916 52.663058
    Unten links KachelX 13890 KachelY + 1 10726 -0.47821851 0.91902745 -27.399902 52.656394
    Unten rechts KachelX + 1 13891 KachelY + 1 10726 -0.47802676 0.91902745 -27.388916 52.656394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91914375-0.91902745) × R
    0.000116300000000069 × 6371000     		dl = 740.94730000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91914375-0.91902745) × R
    0.000116300000000069 × 6371000     		dr = 740.94730000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47821851--0.47802676) × cos(0.91914375) × R
    0.000191749999999991 × 0.606501168364606 × 6371000     		do = 740.925632445025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47821851--0.47802676) × cos(0.91902745) × R
    0.000191749999999991 × 0.606593632368516 × 6371000     		du = 741.038590101413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91914375)-sin(0.91902745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606501168364606-0.606593632368516)×R²
    abs(-0.47802676--0.47821851)×9.24640039094982e-05×R²
    0.000191749999999991×9.24640039094982e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.24640039094982e-05×40589641000000     		ar = 549028.695315582m²