Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1389 / 2996
↖ ↑ ↗
← S 63.704723°
W 57.919922°		 ← 4 329.41 m → S 63.704723°
W 57.832031°		 →
↑
4 326.42 m
↓
↑
4 326.42 m
↓
S 63.743631°
W 57.919922°		 ← 4 323.46 m →
18 717 953 m²		 S 63.743631°
W 57.832031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3392333984375 y=0.7315673828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3392333984375 × 212)
    floor (0.3392333984375 × 4096)
    floor (1389.5)     		tx = 1389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7315673828125 × 212)
    floor (0.7315673828125 × 4096)
    floor (2996.5)     		ty = 2996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1389 / 2996 ti = "12/1389/2996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1389/2996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1389 ÷ 212
    1389 ÷ 4096     		x = 0.339111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2996 ÷ 212
    2996 ÷ 4096     		y = 0.7314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339111328125 × 2 - 1) × π
    -0.32177734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.01089334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7314453125 × 2 - 1) × π
    -0.462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.45421378687402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01089334} λ = -1.01089334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45421378687402))-π/2
    2×atan(0.233583938485776)-π/2
    2×0.229469585675309-π/2
    0.458939171350619-1.57079632675     		φ = -1.11185716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01089334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.919922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11185716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.704723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1389 KachelY 2996 -1.01089334 -1.11185716 -57.919922 -63.704723
    Oben rechts KachelX + 1 1390 KachelY 2996 -1.00935936 -1.11185716 -57.832031 -63.704723
    Unten links KachelX 1389 KachelY + 1 2997 -1.01089334 -1.11253624 -57.919922 -63.743631
    Unten rechts KachelX + 1 1390 KachelY + 1 2997 -1.00935936 -1.11253624 -57.832031 -63.743631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11185716--1.11253624) × R
    0.000679080000000054 × 6371000     		dl = 4326.41868000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11185716--1.11253624) × R
    0.000679080000000054 × 6371000     		dr = 4326.41868000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01089334--1.00935936) × cos(-1.11185716) × R
    0.00153398000000005 × 0.442997295098646 × 6371000     		do = 4329.4066199755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01089334--1.00935936) × cos(-1.11253624) × R
    0.00153398000000005 × 0.442388382197799 × 6371000     		du = 4323.45572236713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11185716)-sin(-1.11253624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442997295098646-0.442388382197799)×R²
    abs(-1.00935936--1.01089334)×0.000608912900847469×R²
    0.00153398000000005×0.000608912900847469×6371000²
    0.00153398000000005×0.000608912900847469×40589641000000     		ar = 18717953.3560064m²