Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13888 / 10816
↖ ↑ ↗
← N 52.052490°
W 27.421875°		 ← 751.23 m → N 52.052490°
W 27.410889°		 →
↑
751.27 m
↓
↑
751.27 m
↓
N 52.045734°
W 27.421875°		 ← 751.35 m →
564 421 m²		 N 52.045734°
W 27.410889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423843383789062 y=0.330093383789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423843383789062 × 215)
    floor (0.423843383789062 × 32768)
    floor (13888.5)     		tx = 13888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330093383789062 × 215)
    floor (0.330093383789062 × 32768)
    floor (10816.5)     		ty = 10816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13888 / 10816 ti = "15/13888/10816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13888/10816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13888 ÷ 215
    13888 ÷ 32768     		x = 0.423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10816 ÷ 215
    10816 ÷ 32768     		y = 0.330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423828125 × 2 - 1) × π
    -0.15234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47860201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330078125 × 2 - 1) × π
    0.33984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.06765062833789
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47860201} λ = -0.47860201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06765062833789))-π/2
    2×atan(2.90853822948569)-π/2
    2×1.23964183472267-π/2
    2.47928366944534-1.57079632675     		φ = 0.90848734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47860201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.421875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90848734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.052490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13888 KachelY 10816 -0.47860201 0.90848734 -27.421875 52.052490
    Oben rechts KachelX + 1 13889 KachelY 10816 -0.47841026 0.90848734 -27.410889 52.052490
    Unten links KachelX 13888 KachelY + 1 10817 -0.47860201 0.90836942 -27.421875 52.045734
    Unten rechts KachelX + 1 13889 KachelY + 1 10817 -0.47841026 0.90836942 -27.410889 52.045734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90848734-0.90836942) × R
    0.000117919999999994 × 6371000     		dl = 751.268319999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90848734-0.90836942) × R
    0.000117919999999994 × 6371000     		dr = 751.268319999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47860201--0.47841026) × cos(0.90848734) × R
    0.000191750000000046 × 0.614939297592205 × 6371000     		do = 751.233982306249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47860201--0.47841026) × cos(0.90836942) × R
    0.000191750000000046 × 0.615032282015511 × 6371000     		du = 751.347575727398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90848734)-sin(0.90836942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614939297592205-0.615032282015511)×R²
    abs(-0.47841026--0.47860201)×9.2984423306075e-05×R²
    0.000191750000000046×9.2984423306075e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.2984423306075e-05×40589641000000     		ar = 564420.962036965m²