Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13887 / 10810
↖ ↑ ↗
← N 52.093008°
W 27.432861°		 ← 750.51 m → N 52.093008°
W 27.421875°		 →
↑
750.57 m
↓
↑
750.57 m
↓
N 52.086258°
W 27.432861°		 ← 750.63 m →
563 354 m²		 N 52.086258°
W 27.421875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423812866210938 y=0.329910278320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423812866210938 × 215)
    floor (0.423812866210938 × 32768)
    floor (13887.5)     		tx = 13887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329910278320312 × 215)
    floor (0.329910278320312 × 32768)
    floor (10810.5)     		ty = 10810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13887 / 10810 ti = "15/13887/10810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13887/10810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13887 ÷ 215
    13887 ÷ 32768     		x = 0.423797607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10810 ÷ 215
    10810 ÷ 32768     		y = 0.32989501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423797607421875 × 2 - 1) × π
    -0.15240478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47879375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32989501953125 × 2 - 1) × π
    0.3402099609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.06880111392877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47879375} λ = -0.47879375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06880111392877))-π/2
    2×atan(2.91188638644311)-π/2
    2×1.23999541367719-π/2
    2.47999082735438-1.57079632675     		φ = 0.90919450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47879375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.432861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90919450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.093008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13887 KachelY 10810 -0.47879375 0.90919450 -27.432861 52.093008
    Oben rechts KachelX + 1 13888 KachelY 10810 -0.47860201 0.90919450 -27.421875 52.093008
    Unten links KachelX 13887 KachelY + 1 10811 -0.47879375 0.90907669 -27.432861 52.086258
    Unten rechts KachelX + 1 13888 KachelY + 1 10811 -0.47860201 0.90907669 -27.421875 52.086258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90919450-0.90907669) × R
    0.000117809999999996 × 6371000     		dl = 750.567509999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90919450-0.90907669) × R
    0.000117809999999996 × 6371000     		dr = 750.567509999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47879375--0.47860201) × cos(0.90919450) × R
    0.000191739999999996 × 0.614381495573968 × 6371000     		do = 750.513407221762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47879375--0.47860201) × cos(0.90907669) × R
    0.000191739999999996 × 0.614474444473609 × 6371000     		du = 750.626951324032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90919450)-sin(0.90907669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614381495573968-0.614474444473609)×R²
    abs(-0.47860201--0.47879375)×9.29488996401773e-05×R²
    0.000191739999999996×9.29488996401773e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.29488996401773e-05×40589641000000     		ar = 563353.591188386m²