Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13887 / 10750
↖ ↑ ↗
← N 52.496160°
W 27.432861°		 ← 743.71 m → N 52.496160°
W 27.421875°		 →
↑
743.81 m
↓
↑
743.81 m
↓
N 52.489470°
W 27.432861°		 ← 743.83 m →
553 226 m²		 N 52.489470°
W 27.421875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423812866210938 y=0.328079223632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423812866210938 × 215)
    floor (0.423812866210938 × 32768)
    floor (13887.5)     		tx = 13887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328079223632812 × 215)
    floor (0.328079223632812 × 32768)
    floor (10750.5)     		ty = 10750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13887 / 10750 ti = "15/13887/10750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13887/10750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13887 ÷ 215
    13887 ÷ 32768     		x = 0.423797607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10750 ÷ 215
    10750 ÷ 32768     		y = 0.32806396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423797607421875 × 2 - 1) × π
    -0.15240478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47879375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32806396484375 × 2 - 1) × π
    0.3438720703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08030596983759
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47879375} λ = -0.47879375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08030596983759))-π/2
    2×atan(2.94558067204039)-π/2
    2×1.24351357762297-π/2
    2.48702715524594-1.57079632675     		φ = 0.91623083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47879375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.432861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91623083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.496160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13887 KachelY 10750 -0.47879375 0.91623083 -27.432861 52.496160
    Oben rechts KachelX + 1 13888 KachelY 10750 -0.47860201 0.91623083 -27.421875 52.496160
    Unten links KachelX 13887 KachelY + 1 10751 -0.47879375 0.91611408 -27.432861 52.489470
    Unten rechts KachelX + 1 13888 KachelY + 1 10751 -0.47860201 0.91611408 -27.421875 52.489470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91623083-0.91611408) × R
    0.000116749999999999 × 6371000     		dl = 743.814249999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91623083-0.91611408) × R
    0.000116749999999999 × 6371000     		dr = 743.814249999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47879375--0.47860201) × cos(0.91623083) × R
    0.000191739999999996 × 0.608814603971186 × 6371000     		do = 743.713028605971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47879375--0.47860201) × cos(0.91611408) × R
    0.000191739999999996 × 0.60890721906018 × 6371000     		du = 743.826164933321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91623083)-sin(0.91611408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608814603971186-0.60890721906018)×R²
    abs(-0.47860201--0.47879375)×9.26150889936084e-05×R²
    0.000191739999999996×9.26150889936084e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.26150889936084e-05×40589641000000     		ar = 553226.425422222m²