Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13885 / 11131
↖ ↑ ↗
← N 49.873398°
W 27.454834°		 ← 787.32 m → N 49.873398°
W 27.443848°		 →
↑
787.39 m
↓
↑
787.39 m
↓
N 49.866317°
W 27.454834°		 ← 787.44 m →
619 975 m²		 N 49.866317°
W 27.443848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13885 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423751831054688 y=0.339706420898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423751831054688 × 215)
    floor (0.423751831054688 × 32768)
    floor (13885.5)     		tx = 13885
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339706420898438 × 215)
    floor (0.339706420898438 × 32768)
    floor (11131.5)     		ty = 11131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13885 / 11131 ti = "15/13885/11131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13885/11131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13885 ÷ 215
    13885 ÷ 32768     		x = 0.423736572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11131 ÷ 215
    11131 ÷ 32768     		y = 0.339691162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423736572265625 × 2 - 1) × π
    -0.15252685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47917725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339691162109375 × 2 - 1) × π
    0.32061767578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00725013481662
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47917725} λ = -0.47917725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00725013481662))-π/2
    2×atan(2.7380613536555)-π/2
    2×1.22062566292679-π/2
    2.44125132585357-1.57079632675     		φ = 0.87045500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47917725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.454834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87045500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.873398°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13885 KachelY 11131 -0.47917725 0.87045500 -27.454834 49.873398
    Oben rechts KachelX + 1 13886 KachelY 11131 -0.47898550 0.87045500 -27.443848 49.873398
    Unten links KachelX 13885 KachelY + 1 11132 -0.47917725 0.87033141 -27.454834 49.866317
    Unten rechts KachelX + 1 13886 KachelY + 1 11132 -0.47898550 0.87033141 -27.443848 49.866317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87045500-0.87033141) × R
    0.000123589999999951 × 6371000     		dl = 787.391889999689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87045500-0.87033141) × R
    0.000123589999999951 × 6371000     		dr = 787.391889999689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47917725--0.47898550) × cos(0.87045500) × R
    0.000191749999999991 × 0.644478710838047 × 6371000     		do = 787.32048894912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47917725--0.47898550) × cos(0.87033141) × R
    0.000191749999999991 × 0.644573205580134 × 6371000     		du = 787.435927434972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87045500)-sin(0.87033141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644478710838047-0.644573205580134)×R²
    abs(-0.47898550--0.47917725)×9.44947420871145e-05×R²
    0.000191749999999991×9.44947420871145e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.44947420871145e-05×40589641000000     		ar = 619975.216282632m²