Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13885 / 10749
↖ ↑ ↗
← N 52.502848°
W 27.454834°		 ← 743.64 m → N 52.502848°
W 27.443848°		 →
↑
743.69 m
↓
↑
743.69 m
↓
N 52.496160°
W 27.454834°		 ← 743.75 m →
553 076 m²		 N 52.496160°
W 27.443848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13885 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423751831054688 y=0.328048706054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423751831054688 × 215)
    floor (0.423751831054688 × 32768)
    floor (13885.5)     		tx = 13885
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328048706054688 × 215)
    floor (0.328048706054688 × 32768)
    floor (10749.5)     		ty = 10749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13885 / 10749 ti = "15/13885/10749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13885/10749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13885 ÷ 215
    13885 ÷ 32768     		x = 0.423736572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10749 ÷ 215
    10749 ÷ 32768     		y = 0.328033447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423736572265625 × 2 - 1) × π
    -0.15252685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47917725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328033447265625 × 2 - 1) × π
    0.34393310546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.08049771743607
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47917725} λ = -0.47917725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08049771743607))-π/2
    2×atan(2.94614553421414)-π/2
    2×1.24357194255285-π/2
    2.4871438851057-1.57079632675     		φ = 0.91634756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47917725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.454834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91634756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.502848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13885 KachelY 10749 -0.47917725 0.91634756 -27.454834 52.502848
    Oben rechts KachelX + 1 13886 KachelY 10749 -0.47898550 0.91634756 -27.443848 52.502848
    Unten links KachelX 13885 KachelY + 1 10750 -0.47917725 0.91623083 -27.454834 52.496160
    Unten rechts KachelX + 1 13886 KachelY + 1 10750 -0.47898550 0.91623083 -27.443848 52.496160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91634756-0.91623083) × R
    0.000116729999999898 × 6371000     		dl = 743.686829999352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91634756-0.91623083) × R
    0.000116729999999898 × 6371000     		dr = 743.686829999352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47917725--0.47898550) × cos(0.91634756) × R
    0.000191749999999991 × 0.608721996451379 × 6371000     		do = 743.638683203329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47917725--0.47898550) × cos(0.91623083) × R
    0.000191749999999991 × 0.608814603971186 × 6371000     		du = 743.75181618437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91634756)-sin(0.91623083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608721996451379-0.608814603971186)×R²
    abs(-0.47898550--0.47917725)×9.26075198068865e-05×R²
    0.000191749999999991×9.26075198068865e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.26075198068865e-05×40589641000000     		ar = 553076.363357994m²