Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13883 / 11137
↖ ↑ ↗
← N 49.830896°
W 27.476806°		 ← 787.97 m → N 49.830896°
W 27.465821°		 →
↑
788.09 m
↓
↑
788.09 m
↓
N 49.823809°
W 27.476806°		 ← 788.09 m →
621 041 m²		 N 49.823809°
W 27.465821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423690795898438 y=0.339889526367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423690795898438 × 215)
    floor (0.423690795898438 × 32768)
    floor (13883.5)     		tx = 13883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339889526367188 × 215)
    floor (0.339889526367188 × 32768)
    floor (11137.5)     		ty = 11137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13883 / 11137 ti = "15/13883/11137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13883/11137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13883 ÷ 215
    13883 ÷ 32768     		x = 0.423675537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11137 ÷ 215
    11137 ÷ 32768     		y = 0.339874267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423675537109375 × 2 - 1) × π
    -0.15264892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47956074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339874267578125 × 2 - 1) × π
    0.32025146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00609964922574
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47956074} λ = -0.47956074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00609964922574))-π/2
    2×atan(2.73491306489885)-π/2
    2×1.22025476811341-π/2
    2.44050953622681-1.57079632675     		φ = 0.86971321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47956074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.476806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86971321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.830896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13883 KachelY 11137 -0.47956074 0.86971321 -27.476806 49.830896
    Oben rechts KachelX + 1 13884 KachelY 11137 -0.47936900 0.86971321 -27.465821 49.830896
    Unten links KachelX 13883 KachelY + 1 11138 -0.47956074 0.86958951 -27.476806 49.823809
    Unten rechts KachelX + 1 13884 KachelY + 1 11138 -0.47936900 0.86958951 -27.465821 49.823809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86971321-0.86958951) × R
    0.00012370000000006 × 6371000     		dl = 788.092700000381m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86971321-0.86958951) × R
    0.00012370000000006 × 6371000     		dr = 788.092700000381m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47956074--0.47936900) × cos(0.86971321) × R
    0.000191739999999996 × 0.645045722614837 × 6371000     		do = 787.972076927892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47956074--0.47936900) × cos(0.86958951) × R
    0.000191739999999996 × 0.645140242289256 × 6371000     		du = 788.087539850212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86971321)-sin(0.86958951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645045722614837-0.645140242289256)×R²
    abs(-0.47936900--0.47956074)×9.45196744194243e-05×R²
    0.000191739999999996×9.45196744194243e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.45196744194243e-05×40589641000000     		ar = 621040.540165647m²