Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13883 / 11061
↖ ↑ ↗
← N 50.366489°
W 27.476806°		 ← 779.21 m → N 50.366489°
W 27.465821°		 →
↑
779.30 m
↓
↑
779.30 m
↓
N 50.359480°
W 27.476806°		 ← 779.33 m →
607 285 m²		 N 50.359480°
W 27.465821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423690795898438 y=0.337570190429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423690795898438 × 215)
    floor (0.423690795898438 × 32768)
    floor (13883.5)     		tx = 13883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337570190429688 × 215)
    floor (0.337570190429688 × 32768)
    floor (11061.5)     		ty = 11061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13883 / 11061 ti = "15/13883/11061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13883/11061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13883 ÷ 215
    13883 ÷ 32768     		x = 0.423675537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11061 ÷ 215
    11061 ÷ 32768     		y = 0.337554931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423675537109375 × 2 - 1) × π
    -0.15264892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47956074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337554931640625 × 2 - 1) × π
    0.32489013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02067246671024
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47956074} λ = -0.47956074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02067246671024))-π/2
    2×atan(2.77506027229989)-π/2
    2×1.2249286941774-π/2
    2.4498573883548-1.57079632675     		φ = 0.87906106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47956074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.476806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87906106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.366489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13883 KachelY 11061 -0.47956074 0.87906106 -27.476806 50.366489
    Oben rechts KachelX + 1 13884 KachelY 11061 -0.47936900 0.87906106 -27.465821 50.366489
    Unten links KachelX 13883 KachelY + 1 11062 -0.47956074 0.87893874 -27.476806 50.359480
    Unten rechts KachelX + 1 13884 KachelY + 1 11062 -0.47936900 0.87893874 -27.465821 50.359480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87906106-0.87893874) × R
    0.000122319999999898 × 6371000     		dl = 779.300719999351m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87906106-0.87893874) × R
    0.000122319999999898 × 6371000     		dr = 779.300719999351m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47956074--0.47936900) × cos(0.87906106) × R
    0.000191739999999996 × 0.637874540796345 × 6371000     		do = 779.21193662553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47956074--0.47936900) × cos(0.87893874) × R
    0.000191739999999996 × 0.637968739584697 × 6371000     		du = 779.327007561278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87906106)-sin(0.87893874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637874540796345-0.637968739584697)×R²
    abs(-0.47936900--0.47956074)×9.4198788351707e-05×R²
    0.000191739999999996×9.4198788351707e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.4198788351707e-05×40589641000000     		ar = 607285.261433183m²