Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13881 / 11139
↖ ↑ ↗
← N 49.816721°
W 27.498779°		 ← 788.24 m → N 49.816721°
W 27.487793°		 →
↑
788.28 m
↓
↑
788.28 m
↓
N 49.809632°
W 27.498779°		 ← 788.36 m →
621 406 m²		 N 49.809632°
W 27.487793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423629760742188 y=0.339950561523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423629760742188 × 215)
    floor (0.423629760742188 × 32768)
    floor (13881.5)     		tx = 13881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339950561523438 × 215)
    floor (0.339950561523438 × 32768)
    floor (11139.5)     		ty = 11139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13881 / 11139 ti = "15/13881/11139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13881/11139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13881 ÷ 215
    13881 ÷ 32768     		x = 0.423614501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11139 ÷ 215
    11139 ÷ 32768     		y = 0.339935302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423614501953125 × 2 - 1) × π
    -0.15277099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47994424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339935302734375 × 2 - 1) × π
    0.32012939453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00571615402878
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47994424} λ = -0.47994424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00571615402878))-π/2
    2×atan(2.73386443995852)-π/2
    2×1.22013106402178-π/2
    2.44026212804356-1.57079632675     		φ = 0.86946580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47994424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.498779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86946580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.816721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13881 KachelY 11139 -0.47994424 0.86946580 -27.498779 49.816721
    Oben rechts KachelX + 1 13882 KachelY 11139 -0.47975249 0.86946580 -27.487793 49.816721
    Unten links KachelX 13881 KachelY + 1 11140 -0.47994424 0.86934207 -27.498779 49.809632
    Unten rechts KachelX + 1 13882 KachelY + 1 11140 -0.47975249 0.86934207 -27.487793 49.809632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86946580-0.86934207) × R
    0.000123729999999989 × 6371000     		dl = 788.283829999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86946580-0.86934207) × R
    0.000123729999999989 × 6371000     		dr = 788.283829999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47994424--0.47975249) × cos(0.86946580) × R
    0.000191750000000046 × 0.645234759731783 × 6371000     		do = 788.244107952855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47994424--0.47975249) × cos(0.86934207) × R
    0.000191750000000046 × 0.645329282577622 × 6371000     		du = 788.359580771353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86946580)-sin(0.86934207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645234759731783-0.645329282577622)×R²
    abs(-0.47975249--0.47994424)×9.45228458388847e-05×R²
    0.000191750000000046×9.45228458388847e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.45228458388847e-05×40589641000000     		ar = 621405.597862676m²