Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13879 / 3722
↖ ↑ ↗
← N 79.916702°
W 27.520752°		 ← 213.87 m → N 79.916702°
W 27.509766°		 →
↑
213.87 m
↓
↑
213.87 m
↓
N 79.914778°
W 27.520752°		 ← 213.91 m →
45 746 m²		 N 79.914778°
W 27.509766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423568725585938 y=0.113601684570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423568725585938 × 215)
    floor (0.423568725585938 × 32768)
    floor (13879.5)     		tx = 13879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113601684570312 × 215)
    floor (0.113601684570312 × 32768)
    floor (3722.5)     		ty = 3722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13879 / 3722 ti = "15/13879/3722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13879/3722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13879 ÷ 215
    13879 ÷ 32768     		x = 0.423553466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3722 ÷ 215
    3722 ÷ 32768     		y = 0.11358642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423553466796875 × 2 - 1) × π
    -0.15289306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.48032773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11358642578125 × 2 - 1) × π
    0.7728271484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.4279080919566
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48032773} λ = -0.48032773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4279080919566))-π/2
    2×atan(11.335145179577)-π/2
    2×1.48280294814254-π/2
    2.96560589628508-1.57079632675     		φ = 1.39480957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48032773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.520752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39480957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.916702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13879 KachelY 3722 -0.48032773 1.39480957 -27.520752 79.916702
    Oben rechts KachelX + 1 13880 KachelY 3722 -0.48013599 1.39480957 -27.509766 79.916702
    Unten links KachelX 13879 KachelY + 1 3723 -0.48032773 1.39477600 -27.520752 79.914778
    Unten rechts KachelX + 1 13880 KachelY + 1 3723 -0.48013599 1.39477600 -27.509766 79.914778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39480957-1.39477600) × R
    3.35700000000383e-05 × 6371000     		dl = 213.874470000244m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39480957-1.39477600) × R
    3.35700000000383e-05 × 6371000     		dr = 213.874470000244m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48032773--0.48013599) × cos(1.39480957) × R
    0.000191739999999996 × 0.175079738275709 × 6371000     		do = 213.873125827203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48032773--0.48013599) × cos(1.39477600) × R
    0.000191739999999996 × 0.175112789663462 × 6371000     		du = 213.913500594046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39480957)-sin(1.39477600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175079738275709-0.175112789663462)×R²
    abs(-0.48013599--0.48032773)×3.30513877532801e-05×R²
    0.000191739999999996×3.30513877532801e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.30513877532801e-05×40589641000000     		ar = 45746.31900301m²