Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13879 / 11141
↖ ↑ ↗
← N 49.802541°
W 27.520752°		 ← 788.43 m → N 49.802541°
W 27.509766°		 →
↑
788.54 m
↓
↑
788.54 m
↓
N 49.795450°
W 27.520752°		 ← 788.55 m →
621 756 m²		 N 49.795450°
W 27.509766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423568725585938 y=0.340011596679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423568725585938 × 215)
    floor (0.423568725585938 × 32768)
    floor (13879.5)     		tx = 13879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340011596679688 × 215)
    floor (0.340011596679688 × 32768)
    floor (11141.5)     		ty = 11141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13879 / 11141 ti = "15/13879/11141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13879/11141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13879 ÷ 215
    13879 ÷ 32768     		x = 0.423553466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11141 ÷ 215
    11141 ÷ 32768     		y = 0.339996337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423553466796875 × 2 - 1) × π
    -0.15289306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.48032773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339996337890625 × 2 - 1) × π
    0.32000732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00533265883182
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48032773} λ = -0.48032773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00533265883182))-π/2
    2×atan(2.73281621708372)-π/2
    2×1.22000732368149-π/2
    2.44001464736297-1.57079632675     		φ = 0.86921832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48032773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.520752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86921832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.802541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13879 KachelY 11141 -0.48032773 0.86921832 -27.520752 49.802541
    Oben rechts KachelX + 1 13880 KachelY 11141 -0.48013599 0.86921832 -27.509766 49.802541
    Unten links KachelX 13879 KachelY + 1 11142 -0.48032773 0.86909455 -27.520752 49.795450
    Unten rechts KachelX + 1 13880 KachelY + 1 11142 -0.48013599 0.86909455 -27.509766 49.795450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86921832-0.86909455) × R
    0.000123769999999968 × 6371000     		dl = 788.538669999793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86921832-0.86909455) × R
    0.000123769999999968 × 6371000     		dr = 788.538669999793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48032773--0.48013599) × cos(0.86921832) × R
    0.000191739999999996 × 0.645423810820535 × 6371000     		do = 788.433940231936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48032773--0.48013599) × cos(0.86909455) × R
    0.000191739999999996 × 0.645518344454283 × 6371000     		du = 788.54942020663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86921832)-sin(0.86909455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645423810820535-0.645518344454283)×R²
    abs(-0.48013599--0.48032773)×9.45336337481173e-05×R²
    0.000191739999999996×9.45336337481173e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.45336337481173e-05×40589641000000     		ar = 621756.181619427m²