Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13877 / 11129
↖ ↑ ↗
← N 49.887557°
W 27.542725°		 ← 787.09 m → N 49.887557°
W 27.531738°		 →
↑
787.14 m
↓
↑
787.14 m
↓
N 49.880478°
W 27.542725°		 ← 787.21 m →
619 593 m²		 N 49.880478°
W 27.531738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423507690429688 y=0.339645385742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423507690429688 × 215)
    floor (0.423507690429688 × 32768)
    floor (13877.5)     		tx = 13877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339645385742188 × 215)
    floor (0.339645385742188 × 32768)
    floor (11129.5)     		ty = 11129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13877 / 11129 ti = "15/13877/11129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13877/11129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13877 ÷ 215
    13877 ÷ 32768     		x = 0.423492431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11129 ÷ 215
    11129 ÷ 32768     		y = 0.339630126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423492431640625 × 2 - 1) × π
    -0.15301513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48071123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339630126953125 × 2 - 1) × π
    0.32073974609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00763363001358
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48071123} λ = -0.48071123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00763363001358))-π/2
    2×atan(2.73911158840072)-π/2
    2×1.2207492220543-π/2
    2.4414984441086-1.57079632675     		φ = 0.87070212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48071123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.542725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87070212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.887557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13877 KachelY 11129 -0.48071123 0.87070212 -27.542725 49.887557
    Oben rechts KachelX + 1 13878 KachelY 11129 -0.48051948 0.87070212 -27.531738 49.887557
    Unten links KachelX 13877 KachelY + 1 11130 -0.48071123 0.87057857 -27.542725 49.880478
    Unten rechts KachelX + 1 13878 KachelY + 1 11130 -0.48051948 0.87057857 -27.531738 49.880478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87070212-0.87057857) × R
    0.000123549999999972 × 6371000     		dl = 787.137049999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87070212-0.87057857) × R
    0.000123549999999972 × 6371000     		dr = 787.137049999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48071123--0.48051948) × cos(0.87070212) × R
    0.000191749999999991 × 0.64428973770996 × 6371000     		do = 787.089631958654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48071123--0.48051948) × cos(0.87057857) × R
    0.000191749999999991 × 0.644384221545915 × 6371000     		du = 787.205057121147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87070212)-sin(0.87057857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64428973770996-0.644384221545915)×R²
    abs(-0.48051948--0.48071123)×9.44838359554501e-05×R²
    0.000191749999999991×9.44838359554501e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.44838359554501e-05×40589641000000     		ar = 619592.839485018m²