Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13876 / 10738
↖ ↑ ↗
← N 52.576350°
W 27.553711°		 ← 742.39 m → N 52.576350°
W 27.542725°		 →
↑
742.48 m
↓
↑
742.48 m
↓
N 52.569673°
W 27.553711°		 ← 742.51 m →
551 252 m²		 N 52.569673°
W 27.542725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423477172851562 y=0.327713012695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423477172851562 × 215)
    floor (0.423477172851562 × 32768)
    floor (13876.5)     		tx = 13876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327713012695312 × 215)
    floor (0.327713012695312 × 32768)
    floor (10738.5)     		ty = 10738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13876 / 10738 ti = "15/13876/10738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13876/10738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13876 ÷ 215
    13876 ÷ 32768     		x = 0.4234619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10738 ÷ 215
    10738 ÷ 32768     		y = 0.32769775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4234619140625 × 2 - 1) × π
    -0.153076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48090298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32769775390625 × 2 - 1) × π
    0.3446044921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.08260694101935
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48090298} λ = -0.48090298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08260694101935))-π/2
    2×atan(2.95236617190634)-π/2
    2×1.24421337093308-π/2
    2.48842674186616-1.57079632675     		φ = 0.91763042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48090298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.553711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91763042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.576350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13876 KachelY 10738 -0.48090298 0.91763042 -27.553711 52.576350
    Oben rechts KachelX + 1 13877 KachelY 10738 -0.48071123 0.91763042 -27.542725 52.576350
    Unten links KachelX 13876 KachelY + 1 10739 -0.48090298 0.91751388 -27.553711 52.569673
    Unten rechts KachelX + 1 13877 KachelY + 1 10739 -0.48071123 0.91751388 -27.542725 52.569673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91763042-0.91751388) × R
    0.000116539999999943 × 6371000     		dl = 742.476339999636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91763042-0.91751388) × R
    0.000116539999999943 × 6371000     		dr = 742.476339999636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48090298--0.48071123) × cos(0.91763042) × R
    0.000191749999999991 × 0.607703695754182 × 6371000     		do = 742.394687103331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48090298--0.48071123) × cos(0.91751388) × R
    0.000191749999999991 × 0.607796243482084 × 6371000     		du = 742.507747040234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91763042)-sin(0.91751388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607703695754182-0.607796243482084)×R²
    abs(-0.48071123--0.48090298)×9.25477279017928e-05×R²
    0.000191749999999991×9.25477279017928e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.25477279017928e-05×40589641000000     		ar = 551252.462903371m²